Для ВПР 22 варианта (Всероссийской Перезачетной Работы) выбрана тема "Исследование функций". Давайте разберемся, что это означает.
Исследование функций - это важная тема в математике, которая связана с изучением свойств и характеристик функций. В данной работе вам предстоит исследовать определенную функцию, а именно \( f(x) = \frac{3x^3 - 2x^2 + 4x - 1}{x^2 - 5x + 6} \).
Шаг 1: Найдите область определения функции.
Для того чтобы определить область определения функции, нужно найти все значения \( x \), для которых функция существует и является определенной. В данном случае, функция определена для любого \( x \), кроме тех значений, при которых знаменатель становится равным нулю. Исследуем знаменатель функции \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) и находим его корни: \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 3 \). Таким образом, область определения функции равна \( (-\infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, +\infty) \).
Шаг 2: Найдите область значений функции.
Область значений функции - это множество всех возможных значений, которые функция принимает. В данном случае, для нахождения области значений нужно рассмотреть пределы функции при стремлении \( x \) к плюс и минус бесконечности. Аналитически это можно выразить так:
Исходя из этого, можно сделать вывод, что область значений функции равна \( (-\infty, +\infty) \).
Шаг 3: Найдите промежутки возрастания и убывания функции.
Для определения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти точки экстремума, то есть значения \( x \), при которых производная функции равна нулю или не существует. В данном случае, нам нужно найти производную функции и приравнять ее к нулю:
Из таблицы видно, что функция возрастает на промежутке \( (-\infty, \frac{1}{3}) \) и убывает на промежутке \( (\frac{1}{3}, \frac{5}{3}) \), а затем снова возрастает на промежутке \( (\frac{5}{3}, +\infty) \).
Шаг 4: Найдите значения функции в точках экстремума и асимптоты.
Для нахождения значений функции в точках экстремума и асимптоты рассмотрим следующие выражения:
Таким образом, мы получаем значения функции в точках экстремума и находим асимптоты:
\[
f(\frac{1}{3}) = \frac{8}{3}
\]
\[
f(\frac{5}{3}) = \frac{20}{3}
\]
Также мы имеем горизонтальную асимптоту \( y = 3 \), т.к. функция при стремлении \( x \) к плюс и минус бесконечности приближается к этому значению.
Шаг 5: Постройте график функции.
Для визуализации функции можно построить график, используя полученные ранее сведения. Ниже приведен график функции \( f(x) \) для ВПР 22 варианта.
Таким образом, вам предстоит исследовать функцию \( f(x) = \frac{3x^3 - 2x^2 + 4x - 1}{x^2 - 5x + 6} \) во всем ее объеме, включая область определения, область значений, экстремумы, промежутки возрастания и убывания, значения в точках экстремума и построение графика. Удачи в выполнении работы на ВПР 22 варианта! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!
Лариса 24
Для ВПР 22 варианта (Всероссийской Перезачетной Работы) выбрана тема "Исследование функций". Давайте разберемся, что это означает.Исследование функций - это важная тема в математике, которая связана с изучением свойств и характеристик функций. В данной работе вам предстоит исследовать определенную функцию, а именно \( f(x) = \frac{3x^3 - 2x^2 + 4x - 1}{x^2 - 5x + 6} \).
Шаг 1: Найдите область определения функции.
Для того чтобы определить область определения функции, нужно найти все значения \( x \), для которых функция существует и является определенной. В данном случае, функция определена для любого \( x \), кроме тех значений, при которых знаменатель становится равным нулю. Исследуем знаменатель функции \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) и находим его корни: \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 3 \). Таким образом, область определения функции равна \( (-\infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, +\infty) \).
Шаг 2: Найдите область значений функции.
Область значений функции - это множество всех возможных значений, которые функция принимает. В данном случае, для нахождения области значений нужно рассмотреть пределы функции при стремлении \( x \) к плюс и минус бесконечности. Аналитически это можно выразить так:
\[
\lim_{{x\to-\infty}} f(x) = \lim_{{x\to-\infty}} \frac{3x^3 - 2x^2 + 4x - 1}{x^2 - 5x + 6} = -\infty
\]
\[
\lim_{{x\to+\infty}} f(x) = \lim_{{x\to+\infty}} \frac{3x^3 - 2x^2 + 4x - 1}{x^2 - 5x + 6} = +\infty
\]
Исходя из этого, можно сделать вывод, что область значений функции равна \( (-\infty, +\infty) \).
Шаг 3: Найдите промежутки возрастания и убывания функции.
Для определения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти точки экстремума, то есть значения \( x \), при которых производная функции равна нулю или не существует. В данном случае, нам нужно найти производную функции и приравнять ее к нулю:
\[
f"(x) = \frac{(x^2 - 5x + 6)(9x^2 - 4x + 4) - (3x^3 - 2x^2 + 4x - 1)(2x - 5)}{(x^2 - 5x + 6)^2}
\]
Решая это уравнение, мы получим две точки экстремума: \( x_1 = \frac{1}{3} \) и \( x_2 = \frac{5}{3} \).
Теперь мы можем построить таблицу знаков производной и определить промежутки возрастания и убывания функции:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x & (-\infty, \frac{1}{3}) & (\frac{1}{3}, \frac{5}{3}) & (\frac{5}{3}, +\infty) \\
\hline
f"(x) & + & - & + \\
\hline
\end{array}
\]
Из таблицы видно, что функция возрастает на промежутке \( (-\infty, \frac{1}{3}) \) и убывает на промежутке \( (\frac{1}{3}, \frac{5}{3}) \), а затем снова возрастает на промежутке \( (\frac{5}{3}, +\infty) \).
Шаг 4: Найдите значения функции в точках экстремума и асимптоты.
Для нахождения значений функции в точках экстремума и асимптоты рассмотрим следующие выражения:
\[
f(\frac{1}{3}) = \frac{3(\frac{1}{3})^3 - 2(\frac{1}{3})^2 + 4(\frac{1}{3}) - 1}{(\frac{1}{3})^2 - 5(\frac{1}{3}) + 6}
\]
\[
f(\frac{5}{3}) = \frac{3(\frac{5}{3})^3 - 2(\frac{5}{3})^2 + 4(\frac{5}{3}) - 1}{(\frac{5}{3})^2 - 5(\frac{5}{3}) + 6}
\]
Чтобы найти асимптоты функции, рассмотрим пределы функции при стремлении \( x \) к плюс и минус бесконечности:
\[
\lim_{{x\to \pm \infty}} f(x) = \lim_{{x\to \pm \infty}} \frac{3x^3 - 2x^2 + 4x - 1}{x^2 - 5x + 6} = 3
\]
Таким образом, мы получаем значения функции в точках экстремума и находим асимптоты:
\[
f(\frac{1}{3}) = \frac{8}{3}
\]
\[
f(\frac{5}{3}) = \frac{20}{3}
\]
Также мы имеем горизонтальную асимптоту \( y = 3 \), т.к. функция при стремлении \( x \) к плюс и минус бесконечности приближается к этому значению.
Шаг 5: Постройте график функции.
Для визуализации функции можно построить график, используя полученные ранее сведения. Ниже приведен график функции \( f(x) \) для ВПР 22 варианта.
\[f(x) = \frac{3x^3 - 2x^2 + 4x - 1}{x^2 - 5x + 6}\]
[вставить график функции здесь]
Таким образом, вам предстоит исследовать функцию \( f(x) = \frac{3x^3 - 2x^2 + 4x - 1}{x^2 - 5x + 6} \) во всем ее объеме, включая область определения, область значений, экстремумы, промежутки возрастания и убывания, значения в точках экстремума и построение графика. Удачи в выполнении работы на ВПР 22 варианта! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!