Когда осевое сечение конуса является равносторонним треугольником со стороной 2r, какова площадь сечения, проведенного

Cherepashka_Nindzya

6

Для начала давайте рассмотрим основные свойства конуса. Конус - это геометрическое тело, у которого есть одна точка на вершине и плоская основа, которая может быть любой фигурой, например, кругом или треугольником.

Данная задача говорит нам о том, что осевое сечение конуса является равносторонним треугольником со стороной 2r, где r - радиус основания конуса. Давайте обозначим это сечение как треугольник ABC, где AB, BC и CA - стороны равностороннего треугольника.

Мы знаем, что в равностороннем треугольнике все стороны равны между собой, поэтому AB = BC = CA = 2r.

Теперь нам нужно найти площадь сечения, проведенного через две образующие, образующие угол 30°. Для этого давайте построим такое сечение и обозначим точку пересечения двух образующих как D.

A --------- B
\ /
\ /
\ /
\ /
\/ D
C

Поскольку угол между образующими равен 30°, то угол BAD равен 30°, а угол BCD равен 150° (так как сумма углов треугольника равна 180°).

Теперь мы можем разделить сечение на два треугольника - BAD и BCD.

Для треугольника BAD мы можем использовать формулу для вычисления площади равностороннего треугольника:

\[Площадь_{BAD} = \frac{{сторона^2 \cdot \sqrt{3}}}{4}\]

Substituting the value for AB (which is equal to 2r), we have:

\[Площадь_{BAD} = \frac{{(2r)^2 \cdot \sqrt{3}}}{4} = \frac{{4r^2 \cdot \sqrt{3}}}{4} = r^2 \cdot \sqrt{3}\]

Для треугольника BCD мы можем использовать формулу для вычисления площади треугольника по двум сторонам и синусу угла между ними:

\[Площадь_{BCD} = \frac{{сторона_1 \cdot сторона_2 \cdot \sin(угол)}{2}\]

Substituting the values for BC (which is equal to 2r) and CD (which is equal to 2r), and the angle BCD (which is equal to 150°), we have:

\[Площадь_{BCD} = \frac{{(2r) \cdot (2r) \cdot \sin(150°)}}{2}\]

The sine of 150° is equal to 1/2, so we can simplify this expression further:

\[Площадь_{BCD} = \frac{{4r^2 \cdot \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{2r^2}}{2} = r^2\]

Теперь мы можем найти площадь всего сечения, просто сложив площади треугольников BAD и BCD:

\[Площадь_{сечения} = Площадь_{BAD} + Площадь_{BCD} = r^2 \cdot \sqrt{3} + r^2 = r^2 (\sqrt{3} + 1)\]

Таким образом, площадь сечения, проведенного через две образующие, образующие угол 30°, равна \(r^2 (\sqrt{3} + 1)\).

Ответ: б) \(r^2\)