Когда половина стержня окунулась в керосин, стержень, прикрепленный шарнирно к верхнему концу, достиг равновесия

Ярд

39

Задача состоит в том, чтобы найти положение равновесия стержня, когда половина его длины находится под поверхностью керосина. Для этого мы можем использовать принцип архимедовой силы и условие равновесия.

Принцип архимедовой силы гласит, что на тело, погруженное в жидкость, действует поддерживающая сила, равная весу вытесненной жидкости. Это означает, что вес стержня, погруженного в керосин, должен быть равен весу керосина, вытесненного им.

Пусть \(m\) - масса стержня, \(L\) - его длина, \(x\) - длина части стержня под поверхностью керосина, \(\rho_{ст}\) - плотность материала стержня, а \(\rho_{к}\) - плотность керосина.

Масса части стержня под поверхностью керосина: \(m_{ч} = \rho_{ст} \cdot x\)

Масса вытесненного керосина: \(m_{к} = \rho_{к} \cdot V_{к}\), где \(V_{к}\) - объем вытесненного керосина.

Объем вытесненного керосина равен объему части стержня, погруженной в керосин: \(V_{к} = \frac{\pi \cdot r^2 \cdot x}{2}\), где \(r\) - радиус стержня.

Таким образом, масса вытесненного керосина: \(m_{к} = \rho_{к} \cdot \frac{\pi \cdot r^2 \cdot x}{2}\)

По принципу Архимеда:

\[m_{к} \cdot g = m_{ч} \cdot g\]

Где \(g\) - ускорение свободного падения.

Подставим значения:

\[\rho_{к} \cdot \frac{\pi \cdot r^2 \cdot x}{2} \cdot g = \rho_{ст} \cdot x \cdot g\]

Сократим на \(g\):

\[\rho_{к} \cdot \frac{\pi \cdot r^2 \cdot x}{2} = \rho_{ст} \cdot x\]

Разделим обе части на \(\frac{\pi \cdot r^2 \cdot x}{2}\):

\[\rho_{к} = \rho_{ст}\]

То есть, плотность керосина должна быть равна плотности материала стержня, чтобы он достиг равновесия в таком положении.

Таким образом, ответом на задачу является равенство плотностей керосина и материала стержня (\(\rho_{к} = \rho_{ст}\)).