Максте руку в горячей (+40) или холодной (+10) воде. Стартуйте секундомер и определите время, необходимое

Igorevich_1727

8

Школьнику, чтобы ответить на эту задачу, нам необходимо знать, как работают терморецепторы - специальные нервные окончания, которые помогают нам ощущать температуру. Когда мы помещаем руку в горячую или холодную воду, эти терморецепторы реагируют на изменение температуры, отправляя информацию к мозгу. Но со временем этой реакции становится меньше.

Давайте предположим, что время, необходимое для терморецепторов, чтобы адаптироваться к новой температуре, изменяется линейно - это означает, что реакция слабеет с постоянной скоростью.

Итак, у нас есть два случая: когда рука погружена в горячую воду (+40 градусов Цельсия) и когда рука погружена в холодную воду (+10 градусов Цельсия). Для каждого случая определим время, необходимое для того, чтобы ощущение тепла или холода ослабло на половину. Давайте начнем с горячей воды.

1. Горячая вода (+40 градусов Цельсия):
Предположим, что у нас есть некоторая начальная интенсивность ощущения тепла (100%). Мы хотим найти время, через которое это ощущение ослабнет вдвое (до 50%).

- Пусть \(t\) обозначает время, прошедшее со старта секундомера.
- Пусть \(I(t)\) обозначает интенсивность ощущения тепла в момент времени \(t\).

Мы можем представить эту интенсивность как функцию времени:
\[I(t) = 100 \cdot e^{-kt},\]
где \(k\) - коэффициент, отвечающий скорости изменения интенсивности, и \(e\) - основание натурального логарифма.

Мы хотим найти \(t\), когда \(I(t) = 50\). Подставим значения в уравнение:
\[50 = 100 \cdot e^{-kt}.\]

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих сторон уравнения:
\[\ln(50) = \ln(100 \cdot e^{-kt}).\]

С помощью свойств логарифмов, мы можем переписать уравнение в следующем виде:
\[\ln(50) = \ln(100) + \ln(e^{-kt}).\]
\[\ln(50) = \ln(100) + (-kt) \cdot \ln(e).\]

Так как \(\ln(e) = 1\), упрощаем выражение:
\[\ln(50) = \ln(100) - kt.\]

Теперь решим это уравнение относительно \(t\). Используя значения \(\ln(50) \approx 3.91\) и \(\ln(100) \approx 4.61\), получаем:
\[3.91 = 4.61 - kt.\]

Выразим \(t\):
\[t = \frac{4.61 - 3.91}{k} = \frac{0.7}{k}.\]

Таким образом, чтобы ощущение тепла ослабело на половину, требуется примерно \(\frac{0.7}{k}\) секунд. Обратите внимание, что значение \(k\) зависит от характеристики каждого человека и может варьироваться.

2. Холодная вода (+10 градусов Цельсия):
Аналогично процедуре для горячей воды, мы можем найти время, необходимое для ослабления ощущения холода на половину.

Пусть \(t"\) обозначает время, прошедшее со старта секундомера.
Пусть \(I"(t")\) обозначает интенсивность ощущения холода в момент времени \(t"\).

Мы можем представить эту интенсивность как функцию времени:
\[I"(t") = 100 \cdot e^{-k"t"}.\]

Аналогично предыдущему примеру, мы хотим найти \(t"\), когда \(I"(t") = 50\). Используя аналогичные шаги, получаем:
\[t" = \frac{0.7}{k"}.\]

Таким образом, чтобы ощущение холода ослабло на половину, требуется примерно \(\frac{0.7}{k"}\) секунд. Опять же, значение \(k"\) зависит от характеристики каждого человека и может варьироваться.

Надеюсь, это объяснение помогло тебе понять, как терморецепторы адаптируются к изменению температуры. Если у тебя возникнут дополнительные вопросы, не стесняйся задавать!