Можно ли максимально упростить доказательство того, что окружность можно вписать в данную трапецию путем изменения

Vaska

49

Конечно можно! Чтобы упростить доказательство вписывания окружности в данную трапецию, мы можем использовать характеристики трапеции и применить теорему о вписанных углах.

Трапеция имеет две параллельные стороны - основания, и две непараллельные стороны - боковые стороны. Давайте обозначим основания трапеции как AB и CD, а боковые стороны как AD и BC.

Затем построим перпендикуляры из точек A и C до оснований трапеции - это отрезки AE и CF соответственно.

Теперь, чтобы вписать окружность в данный трапецию, необходимо доказать, что отрезки AE и CF являются радиусами этой окружности.

Для этого воспользуемся теоремой о вписанных углах. Она утверждает, что угол между касательной, проведенной в точке касания, и хордой окружности равен половине угла, вписанного в окружность и опирающегося на ту же хорду.

Таким образом, давайте введем касательную к окружности, проведенную в точке касания с основанием AB, и обозначим точку касания как E. Заметим, что у нас получился треугольник ADE, в котором угол AED является вписанным углом и опирается на хорду AE.

Также, угол EAD является внешним углом треугольника ACD. Из свойства внешнего угла треугольника следует, что он равен сумме внутренних углов, не ограниченных данным внешним углом. Таким образом, угол EAD равен сумме углов CAE и EAC.

Но угол CAE - это угол между касательной AE и хордой AC, а угол EAC - это угол между хордой AC и боковой стороной AD. Мы можем заметить, что эти два угла равны, так как являются соответственными углами при пересечении параллельных прямых AE и CD.

Таким образом, угол EAD равен углу CAE, что означает, что угол AED также равен углу CAE.

Исходя из теоремы о вписанных углах, это означает, что хорда AE является диаметром окружности, вписанной в данную трапецию. А значит, отрезок AE является радиусом этой окружности. Аналогичные рассуждения можно провести и для второй окружности, вписанной в трапецию с точкой касания в точке F.

Таким образом, мы упростили доказательство вписывания окружности в данную трапецию путем использования характеристик трапеции и теоремы о вписанных углах.