Можно ли определить наименьший момент времени для колебаний пружинного маятника, описываемых уравнением х = A sin пt/12

Хорёк

11

Конечно, я могу помочь решить эту задачу!

Для начала, давайте вспомним, как обычно определяется период колебаний пружинного маятника. Период колебаний обычно обозначается как T и представляет собой время, за которое маятник проходит одно полное колебание.

Уравнение, которое дано - \(x = A \sin \frac{\pi t}{12}\), представляет собой гармонические колебания пружинного маятника, где x - расстояние от положения равновесия в момент времени t, A - амплитуда колебаний, t - время.

Для определения периода колебаний пружинного маятника необходимо найти такое значение t, при котором x снова равно начальному значению, то есть для момента времени t + T, где T - период колебаний и должен быть наименьшим возможным значением.

Давайте решим это уравнение:

\[A \sin \frac{\pi t}{12} = A \sin \frac{\pi (t + T)}{12}\]

Мы знаем, что синус является периодической функцией и повторяется через каждый период. Поэтому, чтобы найти период T, мы должны решить следующее уравнение:

\[\frac{\pi (t + T)}{12} - \frac{\pi t}{12} = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Давайте упростим его:

\[\frac{\pi t + \pi T - \pi t}{12} = 2\pi k\]

\[\frac{\pi T}{12} = 2\pi k\]

Теперь делим обе части на \(\pi\):

\[\frac{T}{12} = 2k\]

Теперь, чтобы найти наименьший период T, мы можем выбрать значение k, которое будет минимальным положительным числом. По определению, к должно быть целым числом, поэтому ближайшее минимальное положительное целое число равно 1. Подставим это значение k:

\[\frac{T}{12} = 2 \cdot 1\]

\[T = 24\]

Таким образом, мы нашли, что наименьший период колебаний пружинного маятника, описываемых уравнением \(x = A \sin \frac{\pi t}{12}\), равен 24 временным единицам.

Надеюсь, это решение понятно! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!