Можно ли всегда покрасить клетки шахматной доски в четыре цвета таким образом, чтобы короли, находящиеся на клетках

Валера

1

Да, можно всегда покрасить клетки шахматной доски в четыре различных цвета таким образом, что короли, находящиеся на клетках одного цвета, не будут атаковать друг друга. Для доказательства этого факта воспользуемся математическим методом доказательства, называемым "методом раскраски графа".

В данной задаче доска будет представлять собой граф, где каждая клетка является вершиной, а ребра проводятся между клетками, смежными по стороне. То есть, две клетки считаются смежными, если они имеют общую сторону (вертикальную или горизонтальную).

Покажем, что такая раскраска действительно возможна. Для начала, заметим, что на любой шахматной доске количество клеток кратно 4 (например, доска размером 8х8 имеет 64 клетки).

Теперь проведем четыре диагонали на доске: две параллельные главной диагонали и две параллельные побочной диагонали. Эти диагонали разбивают доску на 4 равные части, каждая из которых содержит одинаковое количество клеток.

Теперь покрасим клетки внутри каждой части в один из четырех цветов. Такое покрашивание возможно, так как в каждой части количество клеток кратно 4, и мы можем просто чередовать цвета по клеткам.

Поскольку все четыре части доски имеют одинаковое количество клеток и каждая часть покрашена в различный цвет, то короли, находящиеся на клетках одного цвета, не будут атаковать друг друга. Это происходит потому, что короли могут двигаться только на одну клетку вверх, вниз, влево или вправо, и поэтому они не могут перейти на клетку другого цвета.

Таким образом, мы показали, что всегда можно покрасить клетки шахматной доски в четыре цвета таким образом, чтобы короли, находящиеся на клетках одного цвета, не атаковали друг друга.