На каком интервале [0;+∞) достигается наибольшее значение функции y=x/(81+x2)? На каких точках функции производная

Иванович

21

Чтобы найти интервал, на котором функция \(y=\frac{x}{81+x^2}\) достигает наибольшего значения, мы можем использовать производную функции. Сначала найдем производную функции, а затем выясним, на каких точках производная равна нулю.

Получим производную функции \(y\) путем применения правила дифференцирования частного и шести преобразований переменных. Давайте это проделаем:

\[y"=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{81+x^2}\right)\]

\[y"=\frac{(81+x^2)1-x(2x)}{(81+x^2)^2}\]

Упростим выражение:

\[y"=\frac{81+x^2-2x^2}{(81+x^2)^2}\]

\[y"=\frac{81-x^2}{(81+x^2)^2}\]

Теперь мы можем найти точки, где производная равна нулю. Для этого приравняем \(y"\) к нулю:

\[\frac{81-x^2}{(81+x^2)^2}=0\]

Теперь перенесем \(81-x^2\) на другую сторону уравнения:

\[81-x^2=0\]

\[x^2=81\]

Чтобы найти \(x\), возведем обе стороны уравнения в квадрат:

\[x=\pm\sqrt{81}\]

\[x=\pm9\]

Таким образом, мы нашли две точки, где производная функции равна нулю: \(x=9\) и \(x=-9\).

Теперь посмотрим на график функции и определим интервал, на котором достигается наибольшее значение.

\[
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-10 & 0.0980 \\
\hline
-5 & 0.1613 \\
\hline
-1 & 0.2877 \\
\hline
0 & 0 \\
\hline
1 & 0.2877 \\
\hline
5 & 0.1613 \\
\hline
10 & 0.0980 \\
\hline
\end{tabular}
\]

Мы видим, что функция положительна на интервале \((-9;9)\) и отрицательна вне этого интервала. Таким образом, наибольшее значение функции достигается на интервале \((-9;9)\) при \(x=-9\) и \(x=9\).

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как найти интервал и точки, о которых вы спрашивали. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!