На каком расстоянии от поверхности Земли находится шарообразное тело массой 21 кг, если на него действует сила тяжести

Елена

25

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для силы тяжести:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где \(F\) - сила тяжести, \(G\) - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы двух тел, \(r\) - расстояние между ними.

В данной задаче мы знаем массу тела (\(m_2\)), силу тяжести (\(F\)) и массу Земли (\(m_1\)). Известны также гравитационная постоянная и радиус Земли. Мы должны найти расстояние (\(r\)) от поверхности Земли до тела.

Давайте найдем эту высоту по шагам.

1. Подставим известные значения в формулу \(F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\):

\[179 = \frac{{G \cdot m_1 \cdot 21}}{{r^2}}\]

2. Теперь найдем \(G \cdot m_1\). Известно, что \(G = 6.67 \times 10^{-11}\) и масса Земли \(m_1\) равна 5.98 (это уже округленное целое число):

\[G \cdot m_1 = 6.67 \times 10^{-11} \cdot 5.98 = 3.9886 \times 10^{-10}\]

3. Подставим значение \(G \cdot m_1\) в наше уравнение:

\[179 = \frac{{3.9886 \times 10^{-10} \cdot 21}}{{r^2}}\]

4. Рассмотрим теперь только выражение \(\frac{{3.9886 \times 10^{-10} \cdot 21}}{{r^2}}\). Чтобы упростить его, перемножим числа:

\[3.9886 \times 10^{-10} \cdot 21 = 8.375806 \times 10^{-9}\]

5. Подставим это значение в уравнение:

\[179 = \frac{{8.375806 \times 10^{-9}}}{{r^2}}\]

6. Теперь решим уравнение относительно \(r^2\):

\[\frac{{8.375806 \times 10^{-9}}}{{r^2}} = 179\]

Для перевода обратно к метрической системе избавимся от степени 10, переместив ее в числитель:

\[8.375806 \times 10^{-9} = 8.375806 \times \frac{1}{10^{9}} = \frac{8.375806}{10^{9}} = \frac{37.375806}{10^{10}}\]

7. Теперь переставим степень 10 в знаменателе, чтобы упростить уравнение:

\[\frac{{37.375806}}{{10^{10}}} = 179 \cdot r^2\]

8. Разделим обе части уравнения на 179:

\[\frac{{37.375806}}{{179 \cdot 10^{10}}} = r^2\]

9. Найдем r, извлекая квадратный корень:

\[r = \sqrt{\frac{{37.375806}}{{179 \cdot 10^{10}}}}\]

10. Подставим значения в выражение и выполним вычисления:

\[r \approx \sqrt{\frac{{37.375806}}{{179 \cdot 10^{10}}}} \approx \sqrt{2.0936235 \times 10^{-12}} \approx 4.57 \times 10^{-7} \, \text{м}\]

Таким образом, шарообразное тело находится на высоте примерно \(4.57 \times 10^{-7}\) метров от поверхности Земли.