На каком расстоянии от звезды находится небесное тело, если продолжительность его орбитального периода составляет 1250

Рыжик

67

Как правильно записать этот вопрос в тетради:
"На каком расстоянии от звезды находится небесное тело, если продолжительность его орбитального периода составляет 1250 лет?"

Решение:
Для того чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать третий закон Кеплера, который гласит, что кубы полуосей орбит двух небесных тел (например, планеты и звезды) пропорциональны квадратам периодов их обращения вокруг звезды.

Мы знаем период обращения небесного тела - он составляет 1250 лет. Мы не знаем радиус орбиты этого тела, но можем обозначить его как \(r\).

Используя формулу третьего закона Кеплера, мы можем записать:

\[\frac{{r^3}}{{T^2}} = \frac{{r_1^3}}{{T_1^2}}\]

Где:
\(r\) - радиус орбиты небесного тела, который мы ищем,
\(T\) - период обращения небесного тела, которое мы ищем,
\(r_1\) - радиус орбиты известного небесного тела (например, Земли),
\(T_1\) - период обращения известного небесного тела (например, Земли).

Мы знаем, что период обращения Земли составляет около 365.25 дней, что примерно равно 1 году. Радиус орбиты Земли, измеренный от Солнца, составляет около 149.6 миллионов километров. Мы можем использовать эти данные, чтобы решить задачу.

Запишем уравнение с подставленными значениями:

\[\frac{{r^3}}{{1250^2}} = \frac{{149.6^3}}{{1^2}}\]

Теперь нам нужно решить это уравнение для \(r\). Для этого выполним несколько простых алгебраических операций:

\[r^3 = \frac{{1250^2 \cdot 149.6^3}}{{1^2}}\]
\[r^3 = \frac{{1250^2 \cdot 149.6^3}}{{1}}\]
\[r^3 = 1250^2 \cdot 149.6^3\]
\[r^3 = 234375000 \cdot 334859584\]
\[r^3 = 78437622032500000\]

Чтобы найти \(r\), возведем обе части уравнения в кубический корень:

\[r = \sqrt[3]{{78437622032500000}}\]

Вычислим значение:

\[r \approx 423318\]

Ответ: Небесное тело находится на расстоянии примерно 423318 километров от звезды.

Итак, расстояние от звезды до небесного тела, при условии, что его орбитальный период составляет 1250 лет, округленное до целого числа, равно 423318 километров.