На какой процент изменится площадь прямоугольника, если его длину уменьшить на 15%, а ширину увеличить на 20%?

Таинственный_Акробат

15

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Пусть изначальная длина прямоугольника равна \(L\), а изначальная ширина равна \(W\). Тогда изначальная площадь прямоугольника вычисляется по формуле \(S = L \cdot W\).

Теперь, если мы уменьшим длину на 15%, новая длина будет равна \(L_1 = L - 0.15 \cdot L\), или, что равносильно, \(L_1 = L \cdot (1 - 0.15)\).

Если мы увеличим ширину на 20%, новая ширина будет равна \(W_1 = W + 0.20 \cdot W\), или, что равносильно, \(W_1 = W \cdot (1 + 0.20)\).

Таким образом, новая площадь прямоугольника будет \(S_1 = L_1 \cdot W_1\).

Теперь пришло время выразить изменение площади в процентах. Чтобы это сделать, мы вычислим отношение разницы новой площади и старой площади к старой площади, умножим его на 100% и получим процентное изменение площади:
\[
\frac{S_1 - S}{S} \cdot 100\% .
\]

Подставим значения и вычислим:
\[
\text{процентное изменение} = \left( \frac{L_1 \cdot W_1 - L \cdot W}{L \cdot W} \right) \cdot 100\% .
\]

Произведем вычисления для более наглядного понимания:

\[
L_1 = L \cdot (1 - 0.15) = L \cdot 0.85
\]

\[
W_1 = W \cdot (1 + 0.20) = W \cdot 1.20
\]

\[
S_1 = L_1 \cdot W_1 = L \cdot 0.85 \cdot W \cdot 1.20 = L \cdot W \cdot 1.02
\]

Теперь, вычислим процентное изменение:

\[
\text{процентное изменение} = \left( \frac{L \cdot W \cdot 1.02 - L \cdot W}{L \cdot W} \right) \cdot 100\%
\]

\[
= \left( \frac{0.02 \cdot L \cdot W}{L \cdot W} \right) \cdot 100\%
\]

\[
= 0.02 \cdot 100\%
\]

\[
= 2\%
\]

Таким образом, площадь прямоугольника изменится на 2%.