На прядильном станке вероятность обрыва нити составляет 0,001. Какова вероятность того, что нить оборвется не больше

Moroznaya_Roza

59

Для решения этой задачи мы будем использовать биномиальное распределение.

Пусть событие A - нить обрывается, а событие B - нить не обрывается. Вероятность события A равна 0,001, а вероятность события B равна 1 - 0,001 = 0,999.

Формула для вычисления вероятности события A ровно k раз в n независимых испытаниях задается формулой биномиального распределения:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]

где \(C_n^k\) - количество сочетаний из n по k, p - вероятность события A, q - вероятность события B, X - случайная величина, принимающая значения от 0 до n.

Для нашей задачи n = 100 (количество станков), k <= 2 (нить оборвется не больше двух раз).

Теперь решим задачу пошагово:

Шаг 1: Вычислим вероятность того, что нить оборвется 0 раз на 100 станках.
\[P(X = 0) = C_{100}^0 \cdot 0,001^0 \cdot 0,999^{100-0}\]

Шаг 2: Вычислим вероятность того, что нить оборвется 1 раз на 100 станках.
\[P(X = 1) = C_{100}^1 \cdot 0,001^1 \cdot 0,999^{100-1}\]

Шаг 3: Вычислим вероятность того, что нить оборвется 2 раза на 100 станках.
\[P(X = 2) = C_{100}^2 \cdot 0,001^2 \cdot 0,999^{100-2}\]

Шаг 4: Сложим вероятности из шагов 1, 2 и 3 для получения окончательного результата.
\[P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\]

Теперь давайте произведем вычисления:

Шаг 1:
\[P(X = 0) = C_{100}^0 \cdot 0,001^0 \cdot 0,999^{100-0}\]
\[P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0,999^{100}\]

Шаг 2:
\[P(X = 1) = C_{100}^1 \cdot 0,001^1 \cdot 0,999^{100-1}\]
\[P(X = 1) = 100 \cdot 0,001 \cdot 0,999^{99}\]

Шаг 3:
\[P(X = 2) = C_{100}^2 \cdot 0,001^2 \cdot 0,999^{100-2}\]
\[P(X = 2) = \frac{100!}{2! \cdot (100-2)!} \cdot 0,001^2 \cdot 0,999^{98}\]

Шаг 4:
\[P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\]

Окончательный ответ:

\[P(X \leq 2) = 1 \cdot 1 \cdot 0,999^{100} + 100 \cdot 0,001 \cdot 0,999^{99} + \frac{100!}{2! \cdot 98!} \cdot 0,001^2 \cdot 0,999^{98}\]