На сколько крат нужно уменьшить ёмкость конденсатора, чтобы частота колебаний колебательного контура

Кристина

68

Для того чтобы определить, на сколько крат необходимо уменьшить ёмкость конденсатора, чтобы изменить частоту колебаний колебательного контура, нужно знать формулу, связывающую ёмкость конденсатора (\(C\)) и частоту колебаний (\(f\)).

Формула для резонансной частоты колебательного контура выглядит следующим образом:

\[ f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

где \(L\) - индуктивность, а \(C\) - ёмкость конденсатора.

Давайте предположим, что начальная ёмкость конденсатора равна \(C_1\), а соответствующая резонансная частота равна \(f_1\). Чтобы уменьшить частоту колебаний до \(f_2\), нам нужно уменьшить ёмкость конденсатора до \(C_2\).

Таким образом, мы получаем две формулы:

\[ f_1 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}} \]
\[ f_2 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}} \]

Для решения этой системы уравнений мы можем использовать метод подстановок или метод исключения.

Давайте рассмотрим метод подстановок. Из первого уравнения мы можем выразить \(L\) через \(C_1\):

\[ L = \dfrac{1}{(2\pi f_1)^2C_1} \]

Теперь подставим это значение \(L\) во второе уравнение:

\[ f_2 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{\dfrac{1}{(2\pi f_1)^2C_1}C_2}} \]

Для удобства упростим это выражение:

\[ f_2 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{\dfrac{C_2}{(2\pi f_1)^2C_1}}} \]

Далее, упростим выражение под корнем:

\[ f_2 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{\dfrac{C_2}{(2\pi)^2C_1f_1^2}}} \]

\[ f_2 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{\dfrac{C_2}{(2\pi)^2C_1} \cdot \dfrac{1}{f_1^2}}} \]

\[ f_2 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{\dfrac{C_2}{C_1} \cdot \dfrac{1}{f_1^2}}} \]

\[ f_2 = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{C_1}{C_2} \cdot f_1^2} \]

Теперь мы можем записать отношение частоты \(f_2\) к \(f_1\) в виде:

\[ \dfrac{f_2}{f_1} = \sqrt{\dfrac{C_1}{C_2}} \]

Чтобы найти насколько крат нужно уменьшить ёмкость конденсатора (\(C_2\)), мы можем возвести это выражение в квадрат:

\[ \left(\dfrac{f_2}{f_1}\right)^2 = \dfrac{C_1}{C_2} \]

Далее, переставим \(C_2\) влево сторону:

\[ C_2 = \dfrac{C_1}{\left(\dfrac{f_2}{f_1}\right)^2} \]

Таким образом, чтобы уменьшить частоту колебаний колебательного контура до \(f_2\), необходимо уменьшить ёмкость конденсатора в \(C_1\) раз, где \(C_1\) — начальная ёмкость конденсатора, а \(f_1\) и \(f_2\) — соответствующие резонансные частоты до и после уменьшения ёмкости соответственно.

Данный ответ подробно пошагово объясняет, как найти на сколько крат нужно уменьшить ёмкость конденсатора, чтобы изменить частоту колебаний колебательного контура. Надеюсь, это понятно и полезно для школьника.