На сколько отличается радиус данной звезды от радиуса Солнца, при условии равной температуры фотосферы и светимости

Vodopad

34

Чтобы решить данную задачу, мы должны использовать закон Стефана-Больцмана, который связывает светимость звезды с ее радиусом и температурой. Формула выглядит следующим образом:

\[L = 4\pi R^2\sigma T^4\]

Где:
- \(L\) - светимость звезды,
- \(R\) - радиус звезды,
- \(\sigma\) - постоянная Стефана-Больцмана,
- \(T\) - температура фотосферы звезды.

Мы знаем, что светимость данной звезды превышает светимость Солнца в 10 000 раз. То есть:

\[L_{\text{звезды}} = 10 000 L_{\text{Солнца}}\]

Также дано, что температура фотосферы звезды равна температуре Солнца. То есть:

\[T_{\text{звезды}} = T_{\text{Солнца}}\]

Мы должны найти, на сколько отличается радиус данной звезды от радиуса Солнца. Пусть \(R_{\text{звезды}}\) - радиус данной звезды, \(R_{\text{Солнца}}\) - радиус Солнца. Тогда мы можем записать следующее:

\[L_{\text{звезды}} = 4\pi R_{\text{звезды}}^2\sigma T_{\text{звезды}}^4\]
\[L_{\text{Солнца}} = 4\pi R_{\text{Солнца}}^2\sigma T_{\text{Солнца}}^4\]

Подставим известные значения:

\[10 000 \cdot L_{\text{Солнца}} = 4\pi R_{\text{звезды}}^2\sigma T_{\text{Солнца}}^4\]
\[L_{\text{Солнца}} = 4\pi R_{\text{Солнца}}^2\sigma T_{\text{Солнца}}^4\]

Так как \(T_{\text{звезды}} = T_{\text{Солнца}}\), то температуры можно сократить:

\[10 000 = \frac{4\pi R_{\text{звезды}}^2\sigma T_{\text{Солнца}}^4}{4\pi R_{\text{Солнца}}^2\sigma T_{\text{Солнца}}^4}\]

Теперь упростим выражение с помощью сокращений:

\[10 000 = \frac{R_{\text{звезды}}^2}{R_{\text{Солнца}}^2}\]

Чтобы найти отношение радиусов, возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[\sqrt{10 000} = \frac{\sqrt{R_{\text{звезды}}^2}}{\sqrt{R_{\text{Солнца}}^2}}\]
\[100 = \frac{R_{\text{звезды}}}{R_{\text{Солнца}}}\]

Таким образом, радиус данной звезды отличается от радиуса Солнца в 100 раз.