На сколько раз изменилась частота колебаний математического маятника при уменьшении длины нити в 9 раз?

Огонь

44

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулу зависимости периода колебаний математического маятника от его длины. Формула такова:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]

где \(T\) - период колебаний, \(L\) - длина нити маятника, а \(g\) - ускорение свободного падения (приблизительно равно 9.8 м/с²).

Изначально, пусть длина нити маятника будет равна \(L_1\), а его частота колебаний будет равна \(f_1 = \frac{1}{T_1}\).

Если мы уменьшим длину нити в 9 раз (\(L_2 = \frac{L_1}{9}\)), то новая частота колебаний будет равна \(f_2\). Наша задача - вычислить эту новую частоту.

Для этого, сначала найдем период колебаний для новой длины нити:

\[T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{L_2}{g}}\]

Теперь, найдем новую частоту колебаний:

\[f_2 = \frac{1}{T_2}\]

Подставив значение \(T_2\) из предыдущего выражения, получим:

\[f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{L_2}{g}}}\]

Теперь, подставим значение \(L_2\):

\[f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{L_1/9}{g}}}\]

Упрощая это выражение, получим:

\[f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{L_1}{9g}}} = \frac{1}{2\pi\frac{\sqrt{L_1}}{\sqrt{9g}}} = \frac{1}{2\pi\frac{\sqrt{L_1}}{3\sqrt{g}}}\]

Теперь, заменим значение \(f_1\):

\[f_2 = \frac{1}{2\pi\frac{1}{3}\sqrt{L_1}\sqrt{g}} = \frac{3}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L_1}} = \frac{3}{2\pi}\sqrt{\frac{9.8}{L_1}} = \frac{3}{2\pi}\frac{3.14}{\sqrt{L_1}}\]

Теперь, для определения абсолютного изменения, нужно вычислить разницу между \(f_2\) и \(f_1\):

\[\Delta f = f_2 - f_1 = \frac{3}{2\pi}\frac{3.14}{\sqrt{L_1}} - \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{9.8}{L_1}} = \frac{2}{2\pi}\sqrt{\frac{L_1}{9.8}} - \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{9.8}{L_1}}\]

\[= \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{L_1}{9.8}} - \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{9.8}{L_1}} = \frac{\sqrt{L_1}}{\pi\sqrt{9.8}} - \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{9.8}{L_1}}\]

Округлим эту разницу до ближайшего целого числа, чтобы получить результат:

\[\Delta f \approx \text{Округлить}\left(\frac{\sqrt{L_1}}{\pi\sqrt{9.8}} - \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{9.8}{L_1}}\right)\]

Таким образом, мы получили формулу для расчета разницы частот колебаний математического маятника при уменьшении длины нити в 9 раз. Вы можете подставить значение длины нити \(L_1\) в эту формулу, чтобы получить конкретный результат. Пожалуйста, укажите значение длины нити, и я рассчитаю разницу частот для вас.