На сколько раз меньше большая полуось орбиты первой планеты, чем второй, если период обращения первой планеты в

Milashka_9920

11

Чтобы решить эту задачу, давайте разберем каждое условие по отдельности и найдем связь между ними.

Пусть \(a_1\) и \(a_2\) обозначают большие полуоси орбит первой и второй планет соответственно.
Пусть \(T_1\) и \(T_2\) обозначают периоды обращения первой и второй планет соответственно.

Первое условие говорит нам, что период обращения первой планеты в 8 раз меньше, чем период обращения второй планеты. Математически это можно записать следующим образом: \(T_1 = \frac{1}{8}T_2\).

Кроме того, задача спрашивает на сколько раз меньше большая полуось орбиты первой планеты, чем второй. Это означает, что нам нужно найти отношение \(a_1\) к \(a_2\), то есть \(a_1 : a_2\).

Давайте используем законы Кеплера для нахождения связи между периодом обращения и большой полуосью орбиты планет.

Кеплеровы законы говорят, что квадрат периода обращения планеты \(T\) пропорционален кубу большой полуоси орбиты \(a\). Математически это можно записать следующим образом: \(T^2 = k \cdot a^3\), где \(k\) - постоянная пропорциональности.

Давайте подставим это выражение для двух планет в наши условия задачи:

Для первой планеты:
\((\frac{1}{8}T_2)^2 = k \cdot a_1^3\)

Для второй планеты:
\(T_2^2 = k \cdot a_2^3\)

Теперь, чтобы найти отношение \(a_1\) к \(a_2\), давайте поделим выражение для первой планеты на выражение для второй планеты:

\(\frac{(\frac{1}{8}T_2)^2}{T_2^2} = \frac{k \cdot a_1^3}{k \cdot a_2^3}\)

Сократим постоянные \(k\) и вынесем общий множитель \(T_2\) за скобки:

\(\frac{\frac{1}{8^2}T_2^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}\)

Упростим числитель:

\(\frac{\frac{1}{64}T_2^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}\)

Мы видим, что \(\frac{T_2^2}{T_2^2}\) сокращается, поэтому получаем:

\(\frac{1}{64} = \frac{a_1^3}{a_2^3}\)

Мы знаем, что отношение больших полуосей орбит планет равно \(\sqrt[3]{\frac{1}{64}}\), то есть \(a_1 : a_2 = \sqrt[3]{\frac{1}{64}}\).

Теперь давайте посчитаем это значение:

\(a_1 : a_2 = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4}\)

Таким образом, большая полуось орбиты первой планеты на четверть меньше, чем у второй планеты.