На сколько раз светимость Кастора (и Близнецов) превышает светимость Солнца, если она составляет 25 раз, а температура

Светлячок_6402

55

Для решения этой задачи нам необходимо учесть связь между светимостью звезды и её температурой. Для этого воспользуемся законом Стефана-Больцмана, который гласит, что светимость звезды пропорциональна четвёртой степени её температуры.

Формула для закона Стефана-Больцмана выглядит следующим образом:

\[L = 4\pi R^2 \sigma T^4\]

где:
\(L\) - светимость звезды,
\(R\) - радиус звезды,
\(\sigma\) - постоянная Стефана-Больцмана (\(\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\, \text{Вт/м}^2\cdot\text{К}^4\)),
\(T\) - температура звезды.

Так как мы уже знаем светимость Кастора (\(L_{\text{Кастора}} = 25\, L_{\text{Солнца}}\)) и температуру Кастора (\(T_{\text{Кастора}} = 10400\, \text{K}\)), мы можем воспользоваться этими данными для решения задачи.

Сначала найдём светимость Солнца. Для этого подставим значения в формулу и выразим \(L_{\text{Солнца}}\):

\[25\, L_{\text{Солнца}} = 4\pi R^2 \sigma T_{\text{Кастора}}^4\]

Теперь найдём светимость Кастора:

\[L_{\text{Кастора}} = 4\pi R^2 \sigma T_{\text{Кастора}}^4\]

Теперь разделим светимость Кастора на светимость Солнца:

\[\frac{L_{\text{Кастора}}}{L_{\text{Солнца}}} = \frac{4\pi R^2 \sigma T_{\text{Кастора}}^4}{4\pi R^2 \sigma T_{\text{Солнца}}^4}\]

Радиус звезды сокращается, и остаётся:

\[\frac{L_{\text{Кастора}}}{L_{\text{Солнца}}} = \frac{T_{\text{Кастора}}^4}{T_{\text{Солнца}}^4}\]

Подставим известные значения и решим:

\[\frac{L_{\text{Кастора}}}{L_{\text{Солнца}}} = \frac{(10400\, \text{K})^4}{(5780\, \text{K})^4} \approx 357.85\]

Таким образом, светимость Кастора (и Близнецов) превышает светимость Солнца примерно в 357.85 раз.