На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки P и Q, так что АP: PV - 2:3, VQ: QC =4:5. Через середину отрезка

Solnechnyy_Pirog

61

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Талеса.

Пусть точка M - середина отрезка PQ, а точка R - точка пересечения прямой, проведенной через M и V, с отрезком AC.

Так как точка M является серединой отрезка PQ, то мы можем сказать, что AM = MQ и VM = MV.

Используя это знание, можем записать отношения длин отрезков AM, MP, VQ и QC следующим образом:

AM : MP = 1 : 1
VQ : QC = 4 : 5

Рассмотрим отрезки AR и RC. Они параллельны стороне BC, поэтому пропорции между их длинами также будут сохраняться.

Так как MR является частью отрезка MP, можно записать следующее:

MR : RP = AM : MP = 1 : 1

Теперь рассмотрим отрезки VR и RM. Они также параллельны стороне BC, поэтому здесь также сохраняются пропорции:

VR : RM = VQ : QC = 4 : 5

Таким образом, мы получили две пропорции для отрезков AR, RC, RM и VR:

AR : RC = MR : RP = 1 : 1
VR : RM = VQ : QC = 4 : 5

Теперь объединим эти две пропорции и выразим отношение, в котором прямая, проходящая через середину отрезка PQ и точку V, делит сторону AC:

AR : RC = VR : RM

Подставим известные значения:

1 : 1 = 4 : 5

Уравнение получилось правильным, поэтому прямая, проходящая через середину отрезка PQ и точку V, делит сторону AC в отношении 1 : 1.

Таким образом, она делит сторону AC пополам.