На якій відстані від кола з радіусом 3 см розташована точка А, яка знаходиться на відстані 2 см від кола? Які косинуси

Ярило

65

Спасибо за ваше задание! Для решения этой задачи, нам потребуется использовать геометрический подход.

Для начала, давайте изобразим ситуацию. У нас есть круг радиусом 3 см, на котором расположена точка А, находящаяся на расстоянии 2 см от этого круга.

Мы можем представить это следующим образом:

\[
\begin{array}{l}
\text{А} \longrightarrow \longrightarrow \longrightarrow \text{Круг} \\
\end{array}
\]

Теперь, чтобы найти расстояние от точки А до круга, мы можем провести перпендикуляр от точки А к кругу. Длина этого перпендикуляра будет искомым расстоянием.

Давайте обозначим длину перпендикуляра как \(x\). Теперь у нас получается прямоугольный треугольник, где один катет равен 2 см (расстояние от точки А до круга) и радиус круга равен 3 см.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, мы можем записать следующее:

\[
\begin{align*}
x^2 &= 3^2 - 2^2 \\
x^2 &= 9 - 4 \\
x^2 &= 5 \\
x &= \sqrt{5}
\end{align*}
\]

Таким образом, мы получили, что расстояние от точки А до круга равно \(\sqrt{5}\) см.

Теперь давайте перейдем ко второй части задачи. Нам нужно найти косинус углов, образованных дотичными, проведенными из точки А к данному кругу. Чтобы это сделать, нам необходимо знать длину сторон треугольника, образованного радиусом круга, дотичной и перпендикуляром, проведенным из точки А к кругу.

Из предыдущего рассуждения мы выяснили, что длина перпендикуляра равна \(x = \sqrt{5}\) см. А радиус круга равен 3 см.

Теперь, чтобы найти косинус углов, мы можем использовать соотношение косинуса:

\[
\cos(\theta) = \frac{\text{Смежная сторона}}{\text{Гипотенуза}}
\]

В данной задаче, гипотенуза будет равна радиусу окружности, то есть 3 см.

Теперь рассмотрим первый угол. Для этого нужно поставить точку B на окружности таким образом, чтобы она была совпадала с точкой А. Затем, соединим точку B с центром круга. Теперь мы получили треугольник ABC.

\(
\begin{array}{l}
\text{А} \longrightarrow \rightarrow \text{Круг} \longrightarrow \text{B} \\
\end{array}
\)

В этом треугольнике, сторона, прилегающая к первому углу \(\theta_1\) является длиной перпендикуляра из точки А, то есть \(x = \sqrt{5}\) см, а гипотенуза равна радиусу круга, то есть 3 см.

Теперь мы можем найти \(\cos(\theta_1)\) с использованием соотношения косинуса:

\[
\begin{align*}
\cos(\theta_1) &= \frac{\text{Смежная сторона}}{\text{Гипотенуза}} \\
\cos(\theta_1) &= \frac{\sqrt{5}}{3}
\end{align*}
\]

Таким образом, косинус первого угла \(\theta_1\) равен \(\frac{\sqrt{5}}{3}\).

Теперь рассмотрим второй угол \(\theta_2\). Для этого нужно провести дотичную из точки А к кругу, которая будет параллельна оси абсцисс. Пусть точка C будет точкой пересечения этой дотичной с окружностью. Теперь мы получили треугольник ADC.

\(
\begin{array}{l}
\text{А} \longrightarrow \text{C} \longrightarrow \longrightarrow \longrightarrow \text{Круг} \\
\end{array}
\)

В этом треугольнике, сторона, прилегающая ко второму углу \(\theta_2\) также является длиной перпендикуляра из точки А, то есть \(x = \sqrt{5}\) см, а гипотенуза равна радиусу круга, то есть 3 см.

Мы можем найти \(\cos(\theta_2)\) с использованием соотношения косинуса:

\[
\begin{align*}
\cos(\theta_2) &= \frac{\text{Смежная сторона}}{\text{Гипотенуза}} \\
\cos(\theta_2) &= \frac{\sqrt{5}}{3}
\end{align*}
\]

Таким образом, косинус второго угла \(\theta_2\) также равен \(\frac{\sqrt{5}}{3}\).

Вот и все! Мы рассмотрели расстояние от точки А до круга, а также нашли косинусы углов, образованных дотичными, проведенными из точки А к данному кругу. Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!