На яку швидкість треба прискорити ракету, щоб вона стала штучним супутником Венери? Зверніть увагу, що маса Венери

Магический_Вихрь_6638

60

Щоб відповісти на це питання, нам потрібно застосувати одну з основних принципів механіки - другий закон Ньютона. Закон Ньютона можна сформулювати наступним чином: сила, яка діє на тіло, дорівнює масі цього тіла помноженій на прискорення.

Формула другого закону Ньютона виглядає так:
\[F = ma\]
де \(F\) - сила, \(m\) - маса тіла, \(a\) - прискорення.

Перед тим як почати розв"язок задачі, нам потрібно визначити, який радіус орбіти ми хочемо досягти. Зауважте, що радіус Венери складає 6050 км, але нам потрібно виразити його в одиницях, сумісних з масою. Одиницею маси, яку ми використовуємо, є кілограм (кг). Тому ми переведемо радіус з кілометрів в метри. Радіус Венери дорівнює 6050 км, що переводиться в 6 050 000 метрів.

Маючи усі необхідні дані, ми можемо розрахувати необхідну силу. З огляду на те, що рухається швидко навколо Венери, ракета має виконувати центростремальний рух. Тобто необхідна сила повинна спрямовуватися до центра Венери.

Нагадуючи, формула для сили в центростремальному русі виглядає так:
\[F = \frac{mv^2}{r}\]
де \(F\) - сила, \(m\) - маса тіла, \(v\) - швидкість тіла, \(r\) - радіус орбіти.

Оскільки ми хочемо знайти необхідну швидкість, перепишемо формулу:
\[v = \sqrt{\frac{Fr}{m}}\]

Тепер підставимо відповідні значення до формули, де \(r = 6 050 000\) метрів, \(m = 4,92 \times 10^{24}\) кг та \(F\) - невідома. Для знаходження \(F\) використовуємо другий закон Ньютона:
\[F = ma\]
Радіус орбіти можна відобразити як \(r\) та використати формулу для центростремальної сили:
\[F = \frac{mv^2}{r}\]

Отже, виконуємо обчислення:

\[
F = \frac{mv^2}{r} = \frac{(4,92 \times 10^{24} \, \text{кг})v^2}{6 050 000 \, \text{м}}
\]

Оскільки \(F = ma\), то \(a = \frac{F}{m}\).

Таким чином, \(a = \frac{(4,92 \times 10^{24} \, \text{кг})v^2}{6 050 000 \, \text{м} \cdot 4,92 \times 10^{24} \, \text{кг}}\).

Ми хочемо, щоб ракета знаходилася на орбіті Венери, тобто прискорення повинно бути напрямлене до центра Венери. Це може бути досягнуто, якщо прискорення має бути скероване в протилежний шлях руху ракети. Щоб подолати притягання Венери, нам потрібно, щоб зробити модуль прискорення більшим за модуль прискорення від гравітації.

Тільки відома нам кінцева швидкість, тому декілька разів визначимо час від розгортання ракети до орбіти Венери. Використовуючи формулу шляху рівно прискореного руху:

\[s = \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t + s_0\]

де \(s\) - шлях, \(a\) - прискорення, \(t\) - час, \(v_0\) - початкова швидкість, \(s_0\) - початкове положення.

Знаючи, що наша шляхова координата початкового положення буде дорівнювати `0` в результаті розгортання ракети, а початкова швидкість завжди дорівнює `0`, ми можемо спростити формулу:

\[s = \frac{1}{2} a t^2\]

Таким чином, маючи значення прискорення \(a\), яке ми знаємо, і шлях \(s\), який буде рівний радіусу орбіти Венери \(r\) (6 050 000 метрів), ми можемо розрахувати час \(t\).

\[t = \sqrt{\frac{2s}{a}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6 050 000 \, \text{м}}{\frac{(4,92 \times 10^{24} \, \text{кг})v^2}{6 050 000 \, \text{м} \cdot 4,92 \times 10^{24} \, \text{кг}}}}\]

Ми отримали формулу для обчислення часу. Тепер, коли ми знаходимо час, ми можемо знайти остаточну швидкість \(v\) записавши закон руху:

\[v = a \cdot t\]

Підставивши значення \(a\) та \(t\), ми отримаємо шукану остаточну швидкість.

Тепер, розглянемо попередні розрахунки:

1. Переводимо радіус Венери з кілометрів в метри: \(r = 6 050 000\) метрів.
2. Виражаємо \(a\): \(a = \frac{(4,92 \times 10^{24} \, \text{кг})v^2}{6 050 000 \, \text{м} \cdot 4,92 \times 10^{24} \, \text{кг}}\).
3. Знаходимо час \(t\): \(t = \sqrt{\frac{2 \cdot 6 050 000 \, \text{м}}{\frac{(4,92 \times 10^{24} \, \text{кг})v^2}{6 050 000 \, \text{м} \cdot 4,92 \times 10^{24} \, \text{кг}}}}\).
4. Знаходимо остаточну швидкість \(v\): \(v = a \cdot t\).

Тепер, застосовуючи ці формули, ви можете знайти необхідну швидкість для того, щоб ракета стала штучним супутником Венери.