Напишите уравнение касательной к кривой, представленной графиком функции y= 5 - sin(π/4 - x), в точке с абсциссой

Taras

7

Для начала, мы можем найти производную данной функции, чтобы найти угловой коэффициент касательной в данной точке.

При дифференцировании функции \(y = 5 - \sin(\frac{\pi}{4} - x)\), мы получаем:

\[\frac{dy}{dx} = -\cos(\frac{\pi}{4} - x)\]

Теперь мы можем подставить \(x = 7\pi - 12\) в полученное выражение:

\[\frac{dy}{dx} = -\cos(\frac{\pi}{4} - (7\pi - 12))\]

Упрощая выражение внутри косинуса:

\[\frac{dy}{dx} = -\cos(\frac{\pi}{4} - 7\pi + 12)\]

\[\frac{dy}{dx} = -\cos(-6\pi + \frac{\pi}{4} + 12)\]

\[\frac{dy}{dx} = -\cos(\frac{\pi}{4} - 6\pi + 12)\]

Теперь мы можем вычислить значение косинуса:

\[\cos(\frac{\pi}{4} - 6\pi + 12)\]

Используя тригонометрическую формулу косинуса:

\[\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)\]

Где \(a = \frac{\pi}{4} + 12\) и \(b = 6\pi\), мы можем вычислить значение косинуса:

\[\cos(\frac{\pi}{4} - 6\pi + 12) = \cos(\frac{\pi}{4} + 12)\cos(6\pi) + \sin(\frac{\pi}{4} + 12)\sin(6\pi)\]

\[\cos(\frac{\pi}{4} - 6\pi + 12) = \cos(\frac{\pi}{4} + 12)\cos(6\pi)\]

Так как \(\cos(6\pi) = 1\), выражение упрощается до:

\[\cos(\frac{\pi}{4} - 6\pi + 12) = \cos(\frac{\pi}{4} + 12)\]

Теперь давайте вычислим значение косинуса:

\[\cos(\frac{\pi}{4} + 12)\]

\[ \approx 0.9801\]

Итак, мы получили, что производная \(\frac{dy}{dx} = -0.9801\)

Теперь, учитывая то, что у нас есть точка с абсциссой \(x_0 = 7\pi - 12\), мы можем записать уравнение касательной, используя формулу касательной:

\[y - f(x_0) = m(x - x_0)\]

Где \(m\) - угловой коэффициент (производная \(\frac{dy}{dx}\)), а \(f(x_0)\) - значение функции в точке \(x_0\).

Подставив все значения:

\[y - (5 - \sin(\frac{\pi}{4} - (7\pi - 12))) = -0.9801(x - (7\pi - 12))\]

Упростим это уравнение:

\[y - (5 - \sin(\frac{\pi}{4} - (7\pi - 12))) = -0.9801x + 0.9801(7\pi - 12)\]

Итак, уравнение касательной к данной кривой в точке \(x_0 = 7\pi - 12\) будет иметь вид:

\[y = -0.9801x + 0.9801(7\pi - 12) + (5 - \sin(\frac{\pi}{4} - (7\pi - 12)))\]

Пожалуйста, обратите внимание, что некоторые значения могут быть округлены для упрощения выражения. Если вам нужно точное значение, пожалуйста, дайте мне знать, и я могу предоставить его в точной форме.