Напишите уравнение касательной к кривой, представленной графиком функции y= 5 - sin(π/4 - x), в точке с абсциссой

Taras

7

Для начала, мы можем найти производную данной функции, чтобы найти угловой коэффициент касательной в данной точке.

При дифференцировании функции $y=5-\sin (\frac{\pi }{4}-x)$, мы получаем:

$$\frac{dy}{dx}=-\cos (\frac{\pi }{4}-x)$$

Теперь мы можем подставить $x=7\pi -12$ в полученное выражение:

$$\frac{dy}{dx}=-\cos (\frac{\pi }{4}-(7\pi -12))$$

Упрощая выражение внутри косинуса:

$$\frac{dy}{dx}=-\cos (\frac{\pi }{4}-7\pi +12)$$

$$\frac{dy}{dx}=-\cos (-6\pi +\frac{\pi }{4}+12)$$

$$\frac{dy}{dx}=-\cos (\frac{\pi }{4}-6\pi +12)$$

Теперь мы можем вычислить значение косинуса:

$$\cos (\frac{\pi }{4}-6\pi +12)$$

Используя тригонометрическую формулу косинуса:

$$\cos (a-b)=\cos (a)\cos (b)+\sin (a)\sin (b)$$

Где $a=\frac{\pi }{4}+12$ и $b=6\pi$, мы можем вычислить значение косинуса:

$$\cos (\frac{\pi }{4}-6\pi +12)=\cos (\frac{\pi }{4}+12)\cos (6\pi )+\sin (\frac{\pi }{4}+12)\sin (6\pi )$$

$$\cos (\frac{\pi }{4}-6\pi +12)=\cos (\frac{\pi }{4}+12)\cos (6\pi )$$

Так как $\cos (6\pi )=1$, выражение упрощается до:

$$\cos (\frac{\pi }{4}-6\pi +12)=\cos (\frac{\pi }{4}+12)$$

Теперь давайте вычислим значение косинуса:

$$\cos (\frac{\pi }{4}+12)$$

$$\approx 0.9801$$

Итак, мы получили, что производная $\frac{dy}{dx}=-0.9801$

Теперь, учитывая то, что у нас есть точка с абсциссой $x_0=7\pi -12$, мы можем записать уравнение касательной, используя формулу касательной:

$$y-f(x_0)=m(x-x_0)$$

Где $m$ - угловой коэффициент (производная $\frac{dy}{dx}$), а $f(x_0)$ - значение функции в точке $x_0$.

Подставив все значения:

$$y-(5-\sin (\frac{\pi }{4}-(7\pi -12)))=-0.9801(x-(7\pi -12))$$

Упростим это уравнение:

$$y-(5-\sin (\frac{\pi }{4}-(7\pi -12)))=-0.9801x+0.9801(7\pi -12)$$

Итак, уравнение касательной к данной кривой в точке $x_0=7\pi -12$ будет иметь вид:

$$y=-0.9801x+0.9801(7\pi -12)+(5-\sin (\frac{\pi }{4}-(7\pi -12)))$$

Пожалуйста, обратите внимание, что некоторые значения могут быть округлены для упрощения выражения. Если вам нужно точное значение, пожалуйста, дайте мне знать, и я могу предоставить его в точной форме.