Найдите длины неизвестных сторон и углов треугольника ABC, если известно, что AC = 8, ∠B = 48∘, ∠C = 56∘. Запишите
Найдите длины неизвестных сторон и углов треугольника ABC, если известно, что AC = 8, ∠B = 48∘, ∠C = 56∘. Запишите длину стороны BC в ответе, округлив до целого числа. Ваш ответ.
Ягода 46
Для решения данной задачи нам понадобятся знания о свойствах треугольников и тригонометрии. Давайте приступим к решению.По условию задачи нам известны два угла треугольника: \(\angle B = 48^\circ\) и \(\angle C = 56^\circ\). Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам, поэтому можем найти третий угол:
\(\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 48^\circ - 56^\circ = 76^\circ\).
Кроме того, известна длина отрезка AC, равная 8.
Для решения задачи, нам понадобится вспомнить тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Воспользуемся теоремой синусов:
\(\dfrac{a}{\sin(A)} = \dfrac{b}{\sin(B)} = \dfrac{c}{\sin(C)}\),
где \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника, \(A\), \(B\), \(C\) - соответствующие углы.
Применяя теорему синусов к треугольнику ABC, мы можем получить следующее соотношение:
\(\dfrac{AB}{\sin(B)} = \dfrac{AC}{\sin(A)}\).
Подставим известные значения:
\(\dfrac{AB}{\sin(48^\circ)} = \dfrac{8}{\sin(76^\circ)}\).
Теперь решим это уравнение относительно длины стороны AB. Умножим обе части уравнения на \(\sin(48^\circ)\):
\(AB = \dfrac{8 \cdot \sin(48^\circ)}{\sin(76^\circ)}\).
Вычислим значение этого выражения с помощью калькулятора:
\(AB \approx \dfrac{8 \cdot 0.7431}{0.9781} \approx 6.090\).
Таким образом, длина стороны AB примерно равна 6.090.
Наконец, найдем длину стороны BC. Используем теорему синусов с новыми данными:
\(\dfrac{BC}{\sin(C)} = \dfrac{AC}{\sin(A)}\).
Известные значения:
\(\dfrac{BC}{\sin(56^\circ)} = \dfrac{8}{\sin(76^\circ)}\).
Решим это уравнение относительно длины стороны BC. Умножим обе части уравнения на \(\sin(56^\circ)\):
\(BC = \dfrac{8 \cdot \sin(56^\circ)}{\sin(76^\circ)}\).
Вычислим значение этого выражения:
\(BC \approx \dfrac{8 \cdot 0.8290}{0.9781} \approx 6.785\).
Таким образом, округляя длину стороны BC до целого числа, получаем, что сторона BC равна 7.
Итак, длина стороны BC составляет 7.