Найдите координаты четвертой вершины параллелограмма, если заданы три из них. Сколько возможных решений у этой задачи?

Ящерка

14

Когда решаем задачу о нахождении координат четвертой вершины параллелограмма, если известны координаты трех вершин, мы будем использовать свойства параллелограмма и свойства координат на плоскости.
Обозначим вершины этого параллелограмма как A, B, C и D. Дано, что координаты точек A, B и C известны нам.

Давайте рассмотрим это на плоскости. Пусть координаты точки A будут (x₁, y₁), координаты точки B - (x₂, y₂), а координаты точки C - (x₃, y₃).

Мы знаем, что в параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны. То есть, сторона AB параллельна и равна стороне CD, а сторона BC параллельна и равна стороне AD.

Теперь рассмотрим векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\).

Вектор \(\overrightarrow{AB}\) можно получить как разность координат точек B и A:
\(\overrightarrow{AB} = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)\).

Аналогично, вектор \(\overrightarrow{BC}\) можно получить как разность координат точек C и B:
\(\overrightarrow{BC} = (x₃ - x₂, y₃ - y₂)\).

Так как параллельные векторы имеют равные компоненты, то вектор \(\overrightarrow{CD}\) будет равен вектору \(\overrightarrow{AB}\), а вектор \(\overrightarrow{AD}\) будет равен вектору \(\overrightarrow{BC}\).

Таким образом, мы можем записать следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x₄ - x₃ = x₂ - x₁ \\
y₄ - y₃ = y₂ - y₁ \\
\end{cases}
\]

Мы можем объединить эти два уравнения в одно:

\[
(x₄ - x₃, y₄ - y₃) = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)
\]

Теперь, чтобы найти координаты четвертой вершины D и однозначно решить эту задачу, мы должны знать либо координаты точки C, либо координаты точки D.

Таким образом, у этой задачи может быть только одно решение, если либо координаты точки C, либо координаты точки D известны.

Мы можем найти нужные координаты, используя систему уравнений, которую мы получили ранее. Например, если известны координаты точек A, B и C, и нужно найти координаты точки D, мы можем заменить в уравнении соответствующие координаты.

После решения этой системы уравнений мы получим координаты четвертой вершины D параллелограмма.

Подведя итог, у этой задачи может быть только одно решение, если одна из координат точки C, D известна.
Если вы предоставите мне известные координаты, я смогу помочь вам с решением этой задачи.