Найдите координаты вектора b, который является коллинеарным вектору а{8; -10; 13} и образует острый угол

Nikita

1

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Дано, что вектор a имеет координаты {8; -10; 13}. Мы ищем вектор b, который коллинеарен вектору a и образует острый угол с положительным направлением оси Oz. Также условие |b| не указано, поэтому мы можем предположить, что длина вектора b может быть любой.

Вектор b может быть выражен как произведение скаляра k на вектор a, где k - коэффициент пропорциональности. Поскольку вектор b коллинеарен вектору a, он будет иметь те же самые направляющие косинусы.

Направляющие косинусы вектора a могут быть найдены с использованием следующих формул:

\(l = \frac{a_x}{|a|}\)
\(m = \frac{a_y}{|a|}\)
\(n = \frac{a_z}{|a|}\)

Где \(a_x, a_y, a_z\) - координаты вектора a, а \(l, m, n\) - направляющие косинусы.

Теперь мы можем записать вектор b с использованием направляющих косинусов:

\(b = kl \cdot i + km \cdot j + kn \cdot k\)

Где \(i, j, k\) - единичные векторы, указывающие на положительные направления осей x, y, z.

Поскольку мы хотим, чтобы вектор b образовывал острый угол с осью Oz, значение его координаты z должно быть положительным. То есть, \(k \cdot n > 0\).

Мы также можем заметить, что вектор b может быть любой длины, поэтому давайте выберем длину вектора b равной 1 (так называемый единичный вектор). Это позволит нам упростить вычисления.

Итак, нам нужно найти значение k, при котором вектор b будет коллинеарен вектору a и будет образовывать острый угол с осью Oz.

Теперь давайте рассчитаем направляющие косинусы вектора a:

\(l = \frac{8}{\sqrt{8^2 + (-10)^2 + 13^2}} = \frac{8}{\sqrt{263}}\)

\(m = \frac{-10}{\sqrt{8^2 + (-10)^2 + 13^2}} = \frac{-10}{\sqrt{263}}\)

\(n = \frac{13}{\sqrt{8^2 + (-10)^2 + 13^2}} = \frac{13}{\sqrt{263}}\)

Теперь мы можем записать вектор b с использованием единичных направляющих косинусов и неизвестного коэффициента k:

\(b = k \cdot \left(\frac{8}{\sqrt{263}}\right) \cdot i + k \cdot \left(\frac{-10}{\sqrt{263}}\right) \cdot j + k \cdot \left(\frac{13}{\sqrt{263}}\right) \cdot k\)

Для того чтобы вектор b образовывал острый угол с осью Oz, мы должны убедиться, что значение \(k \cdot n > 0\). Поскольку \(n = \frac{13}{\sqrt{263}}\), значит, \(k > 0\).

Таким образом, координаты вектора b, который является коллинеарным вектору a и образует острый угол с положительным направлением оси Oz, при условии |b| = 1, задаются следующим образом:

\(b = \left(\frac{8k}{\sqrt{263}}\right) \cdot i - \left(\frac{10k}{\sqrt{263}}\right) \cdot j + \left(\frac{13k}{\sqrt{263}}\right) \cdot k\)


Где k - положительное число.