Найдите математическое ожидание и дисперсию числа юношей с лучшей подготовкой среди выбранных юношей в группе

Manya

40

Чтобы решить данную задачу, мы должны найти математическое ожидание и дисперсию числа юношей с лучшей подготовкой среди выбранных.

Для начала, давайте определим случайную величину Х, которая будет равна числу юношей с лучшей подготовкой среди выбранных.

Мы знаем, что у нас есть группа из 10 мальчиков, и вероятность попадания кольца на колышек равна 0,6 для шести из них, а для остальных 0,5.

Поскольку двое мальчиков были выбраны по жребию, давайте рассмотрим два возможных случая:

1. Если оба выбранных мальчика имеют лучшую подготовку:
Вероятность того, что первый выбранный мальчик имеет лучшую подготовку, равна 6/10.
Вероятность того, что второй выбранный мальчик имеет лучшую подготовку, равна 5/9 (поскольку осталось 5 мальчиков с лучшей подготовкой из 9 оставшихся).
Вероятность обоих событий (A и B) происходит одновременно равна произведению вероятностей каждого события: (6/10) * (5/9) = 30/90.

2. Если только один из выбранных мальчиков имеет лучшую подготовку:
Вероятность того, что первый выбранный мальчик имеет лучшую подготовку, равна 6/10.
Вероятность того, что второй выбранный мальчик не имеет лучшую подготовку, равна 4/9 (поскольку осталось 4 мальчика без лучшей подготовки из 9 оставшихся).
Вероятность обоих событий (A и B) происходит одновременно также равна произведению вероятностей каждого события: (6/10) * (4/9) = 24/90.

Теперь мы можем найти математическое ожидание (M) и дисперсию (D) случайной величины Х.

Математическое ожидание (M) находится по формуле:
\[ M = X_1 \cdot P(X_1) + X_2 \cdot P(X_2) + \ldots + X_k \cdot P(X_k), \]
где X_i - возможные значения случайной величины, а P(X_i) - соответствующие вероятности, и k - количество возможных значений.

В нашем случае у нас есть два возможных значения для случайной величины Х: 0 (если ни один из выбранных мальчиков не имеет лучшую подготовку) и 1 (если только один из выбранных мальчиков имеет лучшую подготовку). Посчитаем математическое ожидание:

\[ M = 0 \cdot \frac{60}{90} + 1 \cdot \frac{30}{90} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}.\]

Дисперсия (D) находится по формуле:
\[ D = (X_1 - M)^2 \cdot P(X_1) + (X_2 - M)^2 \cdot P(X_2) + \ldots + (X_k - M)^2 \cdot P(X_k).\]

Подставим значения и посчитаем дисперсию:

\[ D = (0 - \frac{1}{3})^2 \cdot \frac{60}{90} + (1 - \frac{1}{3})^2 \cdot \frac{30}{90} = \frac{1}{9} \cdot \frac{60}{90} + \frac{4}{9} \cdot \frac{30}{90} = \frac{2}{9}.\]

Таким образом, математическое ожидание числа юношей с лучшей подготовкой равно \(\frac{1}{3}\), а дисперсия равна \(\frac{2}{9}\).