Найдите объем меньшего сегмента шара, который образуется отсечением его сечения, перпендикулярного диаметру

Космическая_Следопытка

40

Конечно, я помогу вам решить задачу. Для начала, вспомним формулу для объема сегмента шара. Обозначим объем сегмента через V, радиус шара через R, а высоту сегмента (расстояние между сечением и центром шара) через h. Имеется также информация о площади поверхности шара, которую обозначим через S.

Первый шаг - найдем радиус шара. Для этого воспользуемся формулой для площади поверхности шара:

\[S = 4\pi R^2\]

Разделим обе части уравнения на 4π:

\[\frac{S}{4\pi} = R^2\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей:

\[R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}\]

Теперь у нас есть значение радиуса R.

Второй шаг - найдем высоту сегмента h. Поскольку сечение является перпендикулярным диаметру, оно делит его на две равные части и разделяет их в соотношении 1:3. Таким образом, высота сегмента h составляет 1/4 от диаметра.

Высота сегмента h = (1/4) * 2R = (1/2)R

Теперь у нас есть значение высоты сегмента h.

Третий шаг - находим объем сегмента V. Формула для объема сегмента шара выглядит следующим образом:

\[V = \frac{\pi h^2(3R - h)}{6}\]

Подставляем значения радиуса R и высоты сегмента h:

\[V = \frac{\pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 \left(3R - \frac{R}{2}\right)}{6}\]

Упрощаем выражение:

\[V = \frac{\pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 \left(\frac{6R - R}{2}\right)}{6}\]

\[V = \frac{\pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 \left(\frac{5R}{2}\right)}{6}\]

\[V = \frac{\pi R^3}{24}\]

Таким образом, объем меньшего сегмента шара составляет \(\frac{\pi R^3}{24}\).