Найдите решение уравнения (3^3x - 4)/(3^-5x

Скорпион_5308

21

Конечно, я помогу вам с этим уравнением. Давайте решим его пошагово.

У нас есть уравнение: \(\frac{{3^{3x} - 4}}{{3^{-5x}}} = 0\).

Для начала, давайте приведем оба числителя и знаменателя по одной основе, чтобы мы могли работать с ними:

\(\frac{{(3^3)^x - 4}}{{(3^{-5})^x}} = 0\).

Соответственно, \(3^3 = 27\) и \(3^{-5} = \frac{1}{{3^5}} = \frac{1}{{243}}\).

Теперь у нас есть: \(\frac{{27^x - 4}}{{\left(\frac{1}{{243}}\right)^x}} = 0\).

Чтобы продолжить решение, мы можем воспользоваться свойствами арифметики и применить правило деления степеней с одной и той же основой. Правило заключается в том, что при делении одной степени с основой \(a\) на другую степень с той же основой \(a\) степень вычитается: \(a^m / a^n = a^{m-n}\).

Таким образом, мы можем переписать уравнение:

\(\frac{{27^x}}{{\left(\frac{1}{{243}}\right)^x}} - \frac{4}{{\left(\frac{1}{{243}}\right)^x}} = 0\).

Для упрощения выражения в знаменателе воспользуемся правилом смены знака степени:

\(\frac{{27^x}}{{243^{-x}}} - \frac{4}{{243^{-x}}} = 0\).

Теперь мы можем объединить числитель и знаменатель в одно выражение:

\(\frac{{27^x - 4}}{{243^{-x}}} = 0\).

У нас есть равенство дроби равное нулю. Здесь мы можем применить свойство равенства дробей \(a/b = 0\) только если числитель \(a = 0\).

Таким образом, у нас есть уравнение числителя:

\(27^x - 4 = 0\).

Теперь давайте решим это уравнение:

\(27^x - 4 = 0\).

Добавим 4 к обеим сторонам уравнения:

\(27^x = 4\).

Теперь возведем обе стороны уравнения в степень, обратную степени, чтобы избавиться от степени:

\(\sqrt[x]{27^x} = \sqrt[x]{4}\).

Так как \(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\), мы можем переписать уравнение:

\(\sqrt[x]{27^x} = \sqrt[x]{4}\).

Очевидно, что корень x-ой степени из \(27^x\) равен 27, так как корень и степень взаимно обратны. Находим корень от стороны влево:

\(27 = \sqrt[x]{4}\).

Теперь, чтобы изолировать x, возводим обе стороны в степень, обратную x:

\(27^x = 4^x\).

Знаменатель обеих сторон равен x. Теперь мы можем установить, что 27 равно 4 в степени x. Можем записать уравнение следующим образом:

\(27 = 4^x\).

Теперь, чтобы решить это уравнение, давайте возведем обе стороны в логарифм с основанием 4:

\(\log_4{27} = \log_4{4^x}\).

Логарифм обратного оператора к функции возведения в степень. То есть \(\log_b{b^x} = x\), следовательно:

\(x = \log_4{27}\).

Чтобы примерно приблизить значение, мы можем записать \(\log_4{27}\) в виде эквивалентного логарифма, используя свойство логарифма:

\(\log_4{27} = \frac{{\log_{10}{27}}}{{\log_{10}{4}}}\).

Вычисляем значение:

\(\log_4{27} \approx \frac{{1.43136}}{{0.60206}} \approx 2.381\).

Таким образом, решение уравнения \( \frac{{3^{3x} - 4}}{{3^{-5x}}} = 0 \) равно \(x \approx 2.381\).

Надеюсь, ответ был подробным и понятным для вас! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.