Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку С(2; ‒4;‒3) и удовлетворяющей следующим условиям: а) параллельна

Snezhinka

45

Для начала, давайте разберем условия задачи. Нам нужно найти уравнение плоскости, которая проходит через точку C(2; ‒4;‒3) и удовлетворяет двум условиям: а) она параллельна плоскости Оxz и б) она перпендикулярна плоскости, проходящей через точку D(6; m; n).

Начнем с пункта а). Плоскость Оxz можно описать уравнением z = 0. Раз плоскость, которую мы ищем, параллельна Оxz, это значит, что она будет иметь такое же уравнение для z. Поэтому, уравнение плоскости будет иметь вид z = k, где k - константа.

Теперь рассмотрим пункт б). Мы знаем, что плоскость, которую мы ищем, перпендикулярна плоскости, проходящей через точку D(6; m; n). Это означает, что вектор нормали к искомой плоскости будет перпендикулярен вектору нормали к плоскости, проходящей через точку D.

Вектор нормали к плоскости, проходящей через точку D, можно найти, найдя векторное произведение двух направляющих векторов этой плоскости. Поскольку мы знаем точки D(6; m; n) и C(2; ‒4;‒3), мы можем определить направляющие векторы:

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 6 - 2 \\ m - (-4) \\ n - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ m + 4 \\ n + 3 \end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 2 - 2 \\ -4 - (-4) \\ -3 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

Так как вектор \(\overrightarrow{AC}\) равен нулю, это означает, что точка C лежит на плоскости, проходящей через D. Следовательно, вектор \(\overrightarrow{AB}\) будет направляющим вектором для искомой плоскости.

Зная направляющий вектор \(\overrightarrow{AB}\) и точку C(2; ‒4;‒3), мы можем записать уравнение плоскости в общем виде: \(Ax + By + Cz = D\), где A, B, C и D - коэффициенты уравнения.

Используя векторное уравнение плоскости, мы можем выразить коэффициенты A, B и C через компоненты направляющего вектора:

\(A = 4\), \(B = m + 4\), \(C = n + 3\)

Теперь, чтобы найти D, мы можем подставить точку C(2; ‒4;‒3) в уравнение:

\(Ax + By + Cz = D\)

\(4 \cdot 2 + (m + 4)(-4) + (n + 3)(-3) = D\)

Раскрывая скобки, получаем:

\(8 - 4(m + 4) - 3(n + 3) = D\)

\(8 - 4m - 16 - 3n - 9 = D\)

\(-4m - 3n - 17 = D\)

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точку C(2; ‒4;‒3), параллельной плоскости Оxz (соответствующая условию а)) и перпендикулярной плоскости, проходящей через точку D(6; m; n) (соответствующая условию б)), имеет вид:

\[4x + (m + 4)y + (n + 3)z = -4m - 3n - 17\]

Это уравнение плоскости, которое удовлетворяет всем условиям задачи.