Найдите высоту усеченного конуса, если площадь его боковой поверхности равна 36π, а площадь боковой поверхности

Sverkayuschiy_Dzhinn

36

Хорошо, давайте решим эту задачу!

Пусть $r$ - радиус основания усеченного конуса, $h$ - его высота, $R$ - радиус основания исходного конуса, и $H$ - его высота.

Общая идея решения задачи состоит в использовании свойств подобных фигур и формулы для площади боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса может быть выражена следующей формулой:
$$S_1=\pi r(R+r)$$

Площадь боковой поверхности исходного конуса равна:
$$S_2=\pi RH$$

По условию задачи, $S_1=36\pi$ и $S_2=48\pi$. Подставим эти значения в уравнения и решим систему уравнений.

$$\{\begin{array}{l}\pi r(R+r)=36\pi \\ \pi RH=48\pi \end{array}$$

Разделим оба уравнения на $\pi$:
$$\{\begin{array}{l}r(R+r)=36\\ RH=48\end{array}$$

Теперь у нас есть два уравнения и две неизвестные переменные. Воспользуемся известными значениями, чтобы выразить одну переменную через другую.

Переставим первое уравнение:
$$r^2+Rr-36=0$$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $r$. Решим его с помощью формулы дискриминанта.

Дискриминант $D$ квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ вычисляется по формуле $D=b^2-4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=R$, $c=-36$.

$$D=R^2-4\cdot 1\cdot (-36)=R^2+144$$

Теперь рассмотрим возможные случаи:

1. Если $D>0$, уравнение имеет два различных корня $r_1$ и $r_2$ по формуле $r=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$. В этом случае выберем тот корень, который положительный и меньше $R$.

2. Если $D=0$, уравнение имеет один удвоенный корень $r=\frac{-b}{2a}$. В этом случае $r=-\frac{R}{2}$, но так как $r$ должен быть положительным, мы не рассматриваем этот случай.

3. Если $D<0$, уравнение не имеет действительных корней и задача не имеет решений.

Теперь найдем значение высоты исходного конуса. Для этого подставим найденные значения радиусов во второе уравнение системы:
$$RH=48$$

После нахождения значения высоты исходного конуса, мы можем рассчитать высоту усеченного конуса с помощью подобия фигур.

Итак, сначала найдем значение радиуса $r$:

Если $D>0$, то у нас есть два различных корня. Берем тот корень, который положителен и меньше $R$.

Если $D=0$, то мы не рассматриваем этот случай.

Если $D<0$, то задача не имеет решений и выходим из решения.

Теперь, когда у нас есть значение $r$, мы можем перейти к поиску значения высоты исходного конуса. Подставляем известные значения во второе уравнение системы:
$$RH=48$$

Получаем:
$$\text{высота исходного конуса}=\frac{48}{R}$$

Таким образом, чтобы найти значение высоты усеченного конуса, нам нужно знать значение радиуса $r$ исходного конуса. Рассмотрите все три возможных случая (при $D>0$, $D=0$ и $D<0$) и подставьте соответствующее значение $r$ в формулу для высоты усеченного конуса.

Это полное решение задачи.