Найдите значение косинуса острого угла прямоугольного треугольника, если тангенс этого угла равен

Luna_V_Ocheredi

1

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать соотношения между тригонометрическими функциями в прямоугольном треугольнике.

Дано, что тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен \(x\). Давайте обозначим катет, примыкающий к данному углу, как \(a\), а противолежащий катет как \(b\). Тогда мы можем записать следующее:

\[
\tan(\text{{угол}}) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{катет, примыкающий к углу}}}}
\]

\[
\tan(\text{{угол}}) = \frac{{b}}{{a}}
\]

Из данного уравнения, мы можем найти отношение катетов:

\[
\frac{{b}}{{a}} = x
\]

Затем, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины гипотенузы треугольника. По определению, теорема Пифагора гласит:

\[
a^2 + b^2 = c^2
\]

Где \(c\) - длина гипотенузы. Подставляя найденное ранее соотношение между катетами, получаем:

\[
a^2 + (xa)^2 = c^2
\]

\[
a^2 + a^2x^2 = c^2
\]

\[
a^2(1 + x^2) = c^2
\]

Получается, что катет \(a\) равен \(\sqrt{\frac{{c^2}}{{1 + x^2}}} = \frac{{c}}{{\sqrt{{1 + x^2}}}}\)

Заметим, что косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

\[
\cos(\text{{угол}}) = \frac{{\text{{прилежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}
\]

То есть:

\[
\cos(\text{{угол}}) = \frac{{a}}{{c}} = \frac{{\frac{{c}}{{\sqrt{{1 + x^2}}}}}}{{c}} = \frac{{1}}{{\sqrt{{1 + x^2}}}}
\]

Таким образом, значение косинуса острого угла прямоугольного треугольника, если тангенс этого угла равен \(x\), равно \(\frac{{1}}{{\sqrt{{1 + x^2}}}}\).