Найти объем конуса, если площадь его боковой поверхности равна 15П см2 и площадь его основания на 6П см2 меньше

Muzykalnyy_Elf

40

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом. Для начала, нам нужно знать формулу для объема конуса, чтобы приступить к решению. Формула объема конуса выглядит следующим образом:

\[ V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h \]

где \( V \) - объем конуса, \( \pi \) - число Пи (приблизительно равно 3.14), \( r \) - радиус основания конуса, а \( h \) - высота конуса.

Теперь взглянем на условие задачи. Мы знаем, что площадь боковой поверхности равна 15П см², а площадь основания меньше на 6П см². Для нахождения радиуса и высоты конуса, нам необходимо использовать эти данные.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

\[ S_{\text{бок}} = \pi \times r \times l \]

где \( S_{\text{бок}} \) - площадь боковой поверхности, \( l \) - образующая конуса. Мы знаем, что \( S_{\text{бок}} \) равна 15П см², поэтому можем записать:

\[ 15\pi = \pi \times r \times l \]

Теперь рассмотрим площадь основания. Мы знаем, что она на 6П см² меньше, чем площадь боковой поверхности. Таким образом, площадь основания составляет \( 15\pi - 6\pi = 9\pi \) см². Площадь основания конуса вычисляется по формуле:

\[ S_{\text{осн}} = \pi \times r^2 \]

Поскольку \( S_{\text{осн}} \) равна 9П см², мы можем записать:

\[ 9\pi = \pi \times r^2 \]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[ 15\pi = \pi \times r \times l \]
\[ 9\pi = \pi \times r^2 \]

Мы можем сократить \( \pi \) с обеих сторон этих уравнений:

\[ 15 = r \times l \]
\[ 9 = r^2 \]

Отсюда можно выразить \( r \) из второго уравнения:

\[ r = \sqrt{9} = 3 \]

Подставляем найденное значение \( r \) в первое уравнение:

\[ 15 = 3 \times l \]

Решаем уравнение:

\[ l = \frac{15}{3} = 5 \]

Теперь у нас есть значения для \( r \) и \( l \) - радиуса и образующей конуса. Мы можем использовать эти значения для нахождения объема конуса, используя формулу:

\[ V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h \]

Подставляем значения:

\[ V = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 5 \]

Вычисляем:

\[ V = \frac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 5 \]

\[ V = \frac{45\pi}{3} \]

\[ V = 15\pi \]

Таким образом, объем конуса равен 15П см³.