Необходимо доказать, что общая площадь белых треугольников равна сумме площадей чёрных треугольников для двух

Zimniy_Mechtatel

55

Для доказательства того, что общая площадь белых треугольников равна сумме площадей чёрных треугольников внутри одинаковых по площади четырёхугольников, рассмотрим следующую схему:

\[
\begin{array}{cccccc}
& & A & & B & \\
& & \cdot & & \cdot & \\
& / \ & & / \ & & / \ \\
& / \ \ \ & & / \ \ \ & & / \ \ \ \\
C & \cdot & D & \cdot & E & \cdot \\
\end{array}
\]

В данной схеме, мы имеем два одинаковых четырёхугольника, обозначенных буквами ABCD и BCDE. Перепишем данные четырёхугольники в виде суммы треугольников:

\[
\begin{align*}
ABCD &= \triangle ABC + \triangle BCD \\
BCDE &= \triangle BCD + \triangle CDE
\end{align*}
\]

Таким образом, получаем, что

\[
ABCD = \triangle ABC + \triangle BCD = \triangle CDE + \triangle BCD = BCDE
\]

Теперь давайте посмотрим на рисунок ещё раз и выделим белые треугольники и чёрные треугольники:

\[
\begin{array}{cccccc}
& & A & & B & \\
& & \cdot & & \cdot & \\
& / \ & \color{blue}{\triangle ABC} & / \ & \color{blue}{\triangle BCD} & \\
& / \ \ \ & & / \ \ \ & & / \ \ \ \\
C & \cdot & \color{red}{\triangle CDE} & \cdot & \color{red}{\triangle BCD} & \cdot \\
\end{array}
\]

Теперь давайте обозначим площади белых треугольников через \(S_w\), а площади чёрных треугольников через \(S_b\):

\[
S_w = \text{площадь}\left(\color{blue}{\triangle ABC}\right) + \text{площадь}\left(\color{blue}{\triangle BCD}\right)
\]
\[
S_b = \text{площадь}\left(\color{red}{\triangle CDE}\right) + \text{площадь}\left(\color{red}{\triangle BCD}\right)
\]

Из нашего предыдущего рассуждения, мы знаем, что \(S_w = S_b\), поскольку общая площадь фигур \(ABCD\) и \(BCDE\) равна. Таким образом, мы доказали, что общая площадь белых треугольников равна сумме площадей чёрных треугольников внутри данных четырёхугольников.