Необходимо провести выборочный контроль партии, состоящей из 100 деталей. Отказом всей партии будет считаться наличие

Lizonka

47

Для проведения выборочного контроля партии, состоящей из 100 деталей, и определения наличия хотя бы одной непригодной детали, можно использовать метод биномиального распределения.

Метод биномиального распределения позволяет рассчитать вероятность наступления события (в данном случае отказ партии), при условии, что проводится определенное число испытаний (выборок) и известна вероятность успеха (наличие непригодной детали в выборке).

В данном случае, вероятность успеха \(p\) равна вероятности наличия непригодной детали, а вероятность неудачи \(q\) равна вероятности отсутствия непригодной детали. Так как нужно определить наличие хотя бы одной непригодной детали, то это будет считаться успехом.

Использовав формулу биномиального распределения, мы можем рассчитать вероятность успеха для различного числа испытаний (выборок).

Формула биномиального распределения выглядит следующим образом:
\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]
где \(P(X=k)\) - вероятность получить \(k\) успехов при \(n\) испытаниях,
\(C_n^k\) - количество комбинаций из \(n\) по \(k\) (число сочетаний),
\(p\) - вероятность успеха,
\(q\) - вероятность неудачи (1 - \(p\)),
\(k\) - количество успехов,
\(n\) - общее число испытаний (выборок).

В данной задаче нам нужно узнать вероятность наличия хотя бы одной непригодной детали, то есть \(k \geq 1\). Чтобы рассчитать такую вероятность, вычислим вероятность отсутствия непригодной детали во всех 100 выборках и вычтем ее из 1.

\[P(\text{непригодная деталь в партии}) = 1 - P(\text{все детали пригодны})\]

Также, с учетом большого количества деталей, приближенно можно использовать формулу Пуассона для рассчета вероятности.

Если вероятность успеха \(p\) очень мала, а общее число испытаний (выборок) \(n\) очень велико, то это напоминает ситуацию распределения Пуассона.

Формула Пуассона для рассчета вероятности выглядит следующим образом:
\[P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}\]
где \(P(X=k)\) - вероятность получить \(k\) событий при среднем числе событий \(\lambda\),
\(e\) - число Эйлера (примерно равно 2,71828...),
\(k\) - количество событий,
\(\lambda\) - среднее число событий.

В нашем случае нужно рассчитать вероятность, когда количество событий \(k\) больше или равно 1, то есть наличие хотя бы одного отказа партии.

Как я уже упомянул ранее, для приблизительного решения данной задачи можно использовать формулу Пуассона:
\[P(\text{непригодная деталь в партии}) = 1 - P(\text{все детали пригодны})\]
\[P(\text{непригодная деталь в партии}) \approx 1 - e^{-\lambda} \cdot \lambda^0 / 0!\]
\[P(\text{непригодная деталь в партии}) \approx 1 - e^{-\lambda}\]

Для определения значения \(\lambda\) в данной задаче можно использовать стандартное отклонение выборки партии, если известно среднее значение доли непригодных деталей в общей совокупности.

Это всеобщее руководство по проведению выборочного контроля партии и определению вероятности отказа всей партии на основе наличия хотя бы одной непригодной детали. Однако, для более точного и конкретного ответа, необходимы точные данные, такие как значения \(\lambda\) и \(p\), чтобы рассчитать вероятность наличия хотя бы одной непригодной детали в партии.