Нужно доказать, что ∠DOT равен 2∠KOM, исходя из информации, что на рисунке 209 ∠DOK равен ∠MOP, а ∠POK равен ∠TOM

Щавель

30

Для доказательства того, что угол ∠DOT равен 2∠KOM, воспользуемся информацией, что на рисунке угол ∠DOK равен ∠MOP, а ∠POK равен ∠TOM.

Рассмотрим следующую цепочку равенств:

1. Из условия задачи известно, что ∠DOK = ∠MOP.
2. Также из условия задачи известно, что ∠POK = ∠TOM.
3. Посмотрим на треугольникы DOK и TOM.
4. В треугольнике DOK у нас есть два угла, ∠DOK и ∠POK, для которых мы знаем, что они равны двум углам в треугольнике TOM, ∠MOP и ∠TOM.
5. Равные углы соответствуют равным углам (по свойству равенства углов).
6. Следовательно, ∠DOK = ∠MOP и ∠POK = ∠TOM в треугольниках DOK и TOM.

Теперь обратим внимание на треугольник TOM:

7. Сумма углов в треугольнике TOM равна 180 градусов (по свойству треугольника).
8. Заметим, что ∠POK + ∠TOM + ∠MOT = 180 градусов.
9. Заменим ∠TOM на ∠POK с помощью равенства ∠POK = ∠TOM (данный факт известен из условия).
10. Получим ∠POK + ∠POK + ∠MOT = 180 градусов.
11. Суммируем ∠POK + ∠POK, получаем 2∠POK + ∠MOT = 180 градусов.

Теперь обратим внимание на треугольник DOT:

12. Сумма углов в треугольнике DOT равна 180 градусов (по свойству треугольника).
13. Из факта, что ∠DOK = ∠MOP, следует, что ∠DOK + ∠MOP + ∠MOD = 180 градусов.
14. Подставим значение ∠MOP из пункта 1 в предыдущее уравнение: ∠DOK + ∠DOK + ∠MOD = 180 градусов.
15. Суммируем ∠DOK + ∠DOK, получаем 2∠DOK + ∠MOD = 180 градусов.

Теперь сравним уравнения из пунктов 11 и 15:

2∠POK + ∠MOT = 180 градусов и 2∠DOK + ∠MOD = 180 градусов.

Мы видим, что левые части уравнений в обоих случаях совпадают (2∠POK и 2∠DOK). Значит, правые части тоже должны быть равными:

∠MOT = ∠MOD.

Таким образом, мы доказали, что угол ∠DOT равен 2∠KOM.

Это доказательство основано на понятии равных углов и свойствах треугольников.