опишите решение. Какова площадь ромба, если его диагонали составляют 9 см и

Margo

22

Для того чтобы определить площадь ромба, нам потребуется знать длины его диагоналей. В данной задаче мы знаем, что диагонали равны 9 см и...

Для начала, обратимся к свойствам ромба. Одно из таких свойств заключается в том, что диагонали ромба делят его на четыре равных треугольника. Таким образом, мы можем разделить ромб на два равных треугольника, используя одну из его диагоналей.

Для удобства давайте обозначим длины диагоналей ромба. Пусть \(d_1\) и \(d_2\) - длины диагоналей. В данной задаче нам известно, что \(d_1 = 9\, \text{см}\).

Теперь мы можем приступить к решению. Для нахождения площади треугольника нам необходимо знать длину его базы (стороны, от которой проведена высота). В нашем случае, одна из диагоналей ромба будет служить базой для одного из треугольников, а другая диагональ - для другого треугольника.

Давайте обратимся к треугольнику, образованному первой диагональю и одной из его сторон. Поскольку ромб является фигурой с равными сторонами, то сторона треугольника будет иметь такую же длину, как и одна из сторон ромба.

Используя свойства ромба, мы можем сказать, что сторона ромба равна половине длины одной из его диагоналей. Так что длина стороны ромба будет \(s = \frac{d_1}{2} = \frac{9}{2} = 4.5\, \text{см}\).

Теперь мы можем рассчитать площадь одного из треугольников. Формула для площади треугольника - это половина произведения длины его базы на его высоту.

В нашем случае, длина базы треугольника равна длине стороны ромба и составляет \(s = 4.5\, \text{см}\). Теперь нам нужно найти высоту треугольника. Для этого воспользуемся свойством ромба, согласно которому высота треугольника равна половине длины второй диагонали.

Таким образом, высота треугольника равна \(h = \frac{d_2}{2}\).

Мы знаем, что сумма квадратов половин диагоналей ромба равна квадрату его стороны. В нашем случае, это свойство можно записать следующим образом:

\(\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = s^2\).

Подставляя известные значения, получим:

\(\left(\frac{9}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = (4.5)^2\).

Решим это уравнение:

\(\frac{81}{4} + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 20.25\).

Перенесем \(\frac{81}{4}\) на другую сторону и получим:

\(\left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 20.25 - \frac{81}{4}\).

Давайте теперь найдем значение в правой части уравнения:

\(\left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = \frac{81 - 80.25}{4} = \frac{0.75}{4} = 0.1875\).

Чтобы избавиться от квадратного корня в левой части уравнения, возьмем квадратный корень от обеих частей:

\(\frac{d_2}{2} = \sqrt{0.1875}\).

Теперь найдем значение корня:

\(\frac{d_2}{2} = 0.433\).

Домножим обе части уравнения на 2:

\(d_2 = 2 \times 0.433 = 0.866\).

Получаем, что вторая диагональ ромба равна \(d_2 = 0.866\, \text{см}\).

Теперь, чтобы найти площадь всего ромба, мы можем воспользоваться формулой:

\[S = \frac{d_1 \times d_2}{2} = \frac{9 \times 0.866}{2} = 3.897\, \text{см}^2.\]

Таким образом, площадь ромба равна \(3.897\, \text{см}^2\).