Определить интервалы значений z, при которых корни уравнения x2-2zx+z2-1=0 находятся между

Зимний_Сон_3412

56

Для начала, давайте посмотрим на уравнение \( x^2 - 2zx + z^2 - 1 = 0 \). Цель состоит в том, чтобы определить интервалы значений \( z \), при которых корни этого уравнения находятся между определенными значениями. Для этого мы можем использовать дискриминант и значения аргументов уравнения.

Дискриминант \( D \) уравнения \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) вычисляется по формуле \( D = B^2 - 4AC \). В нашем случае, коэффициенты \( A \), \( B \) и \( C \) равны 1, -2z и \( z^2 - 1 \) соответственно. Теперь применим эту формулу к нашему уравнению:

\[ D = (-2z)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (z^2 - 1) = 4z^2 - 4z^2 + 4 \]

Упрощая это, мы получаем \( D = 4 \). Так как значение дискриминанта положительное, это означает, что у уравнения есть два различных корня.

Для нахождения этих корней, мы можем использовать формулу \( x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} \), где \( A \) равно 1, \( B \) равно -2z, а \( D \) равно 4. Подставим полученные значения в формулу:

\[ x = \frac{-(-2z) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{2z \pm 2}{2} \]

Упрощая это, мы получаем \( x = z \pm 1 \). Таким образом, корни нашего уравнения это \( x = z + 1 \) и \( x = z - 1 \).

Теперь, чтобы определить интервалы значений \( z \), при которых корни находятся между определенными значениями, мы должны взглянуть на три случая:

1. Когда \( x = z + 1 \) находится между двумя значениями. Это возможно, только если \( x > z + 1 \) и \( x < z - 1 \). Это означает, что значения \( z \) должны быть такими, чтобы разность \( z - x \) была больше 1.
2. Когда \( x = z - 1 \) находится между двумя значениями. Это возможно, только если \( x > z + 1 \) и \( x < z - 1 \). Это означает, что значения \( z \) должны быть такими, чтобы разность \( z - x \) была меньше -1.
3. Когда оба корня \( x = z + 1 \) и \( x = z - 1 \) находятся между двумя значениями. Это означает, что значения \( z \) должны быть такими, чтобы выполнялись оба условия из предыдущих двух случаев.

Итак, интервалы значений \( z \), при которых корни уравнения \( x^2 - 2zx + z^2 - 1 = 0 \) находятся между определенными значениями, можно записать следующим образом:

1. Если \( z - x > 1 \), то корень \( x = z + 1 \) находится между двумя значениями.
2. Если \( z - x < -1 \), то корень \( x = z - 1 \) находится между двумя значениями.
3. Если выполняются оба условия из предыдущих двух случаев, тогда оба корня \( x = z + 1 \) и \( x = z - 1 \) находятся между двумя значениями.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как определить интервалы значений \( z \), при которых корни уравнения находятся между определенными значениями. Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!