Определить значения времени t в диапазоне от 0 до 4 с, при которых достигается максимальное нормальное ускорение точки

Ягненок

17

Хорошо, чтобы решить данную задачу, нам понадобится знать выражения для нормального ускорения \(a_n\), функции скорости \(v\) и радиуса окружности \(r\).

Нормальное ускорение \(a_n\) можно выразить как произведение квадрата скорости \(v\) на радиус окружности \(r\), делённое на модуль радиуса-вектора \(r\), возведенный в куб:
\[a_n = \frac{{v^2}}{{r^2}}\]

Функцию скорости \(v\) можно записать в виде произведения радиуса окружности \(r\) на производную угла \(\theta\) по времени \(t\):
\[v = r \cdot \frac{{d\theta}}{{dt}}\]

Теперь, чтобы найти максимальное нормальное ускорение, нам нужно применить первый закон Ньютона, который говорит, что нормальная сила \(F_n\) равна массе \(m\) умноженной на нормальное ускорение \(a_n\):
\[F_n = m \cdot a_n\]

Но поскольку мы не знаем массу, мы можем проигнорировать этот множитель. Таким образом, максимальное нормальное ускорение будет достигаться, когда нормальная сила \(F_n\) достигнет максимального значения.

Поскольку нормальная сила \(F_n\) является центростремительной силой, она равна произведению массы \(m\) на нормальное ускорение \(a_n\):
\[F_n = m \cdot a_n\]

Так как мы игнорируем массу, мы можем сказать, что для максимального нормального ускорения значение центростремительной силы должно быть максимальным. Центростремительная сила \(F_n\) может быть выражена как произведение массы \(m\) на квадрат скорости \(v\), делённое на радиус окружности \(r\):
\[F_n = \frac{{m \cdot v^2}}{{r}}\]

Теперь, чтобы найти значения времени \(t\) при которых достигается максимальное нормальное ускорение, мы должны определить значения времени, когда центростремительная сила достигает максимального значения.

Подставим выражение для \(v\) в формулу для центростремительной силы:
\[F_n = \frac{{m \cdot (r \cdot \frac{{d\theta}}{{dt}})^2}}{{r}}\]

Упростив выражение, получим:
\[F_n = m \cdot r \cdot (\frac{{d\theta}}{{dt}})^2\]

Теперь выразим \(F_n\) через нормальное ускорение \(a_n\):
\[a_n = \frac{{F_n}}{{m}}\]

Подставим значение \(F_n\):
\[a_n = \frac{{m \cdot r \cdot (\frac{{d\theta}}{{dt}})^2}}{{m}}\]

Упростим выражение:
\[a_n = r \cdot (\frac{{d\theta}}{{dt}})^2\]

Таким образом, мы получили выражение для нормального ускорения \(a_n\). Теперь, чтобы найти значения времени \(t\), которые дают максимальное нормальное ускорение, мы должны найти значения времени, при которых производная угла \(\theta\) по времени \(t\) равна нулю.

Определение максимума нормального ускорения в данном случае эквивалентно определению минимума времени для производной угла \(\theta\) по времени \(t\). То есть, мы должны решить уравнение:
\[\frac{{d\theta}}{{dt}} = 0\]

Определим производную угла \(\theta\) по времени \(t\). Поскольку у нас есть функция скорости \(v\), можно использовать центробежное уравнение:
\[a_n = \frac{{v^2}}{{r^2}}\]

Подставим значение \(v\) из выражения для функции скорости \(v\):
\[\frac{{d\theta}}{{dt}} = \frac{{r \cdot \frac{{d\theta}}{{dt}}}}{{r^2}}\]

Упростим выражение:
\[\frac{{d\theta}}{{dt}} = \frac{{1}}{{r}} \cdot \frac{{d\theta}}{{dt}}\]

Теперь выразим \(\frac{{d\theta}}{{dt}}\) через время \(t\):
\[0 = \frac{{1}}{{r}} \cdot \frac{{d\theta}}{{dt}}\]

Умножим обе части уравнения на \(r\):
\[0 = \frac{{d\theta}}{{dt}}\]

То есть, производная угла \(\theta\) по времени \(t\) равна нулю при \(t =\) любое значение.

Таким образом, максимальное нормальное ускорение достигается при любых значениях времени \(t\) в диапазоне от 0 до 4 секунды, поскольку при этих значениях производная угла \(\theta\) по времени \(t\) равна нулю.