Определите массу карликовой планеты Эрида (в массах Земли), сравнивая систему Эрида—Дисномия с системой Земля—Луна
Определите массу карликовой планеты Эрида (в массах Земли), сравнивая систему Эрида—Дисномия с системой Земля—Луна. Учитывайте, что Дисномия находится от Эриды на расстоянии 37,4 тыс. км и обращается с периодом Т = 15,8 суток. Массы Луны и Дисномии считайте незначительными по сравнению с массами планет. Примите расстояние от Земли до Луны равным 384 тыс. км и период обращения Луны равным 27,3 суток. Ответ округлите до десятитысячных.
Timofey 37
Для решения данной задачи мы можем использовать третий закон Кеплера, который гласит: отношение кубов периодов обращения двух планет равно отношению квадратов больших полуосей их орбит. Мы можем использовать этот закон для сравнения системы Эрида—Дисномия с системой Земля—Луна.Пусть \( T_e \) и \( T_d \) - периоды обращения Земли и Дисномии соответственно, \( R_e \) и \( R_d \) - расстояния между Землей и Луной и между Эридой и Дисномией соответственно, а \( M_e \) и \( M_d \) - массы Земли и Дисномии соответственно.
Согласно третьему закону Кеплера, мы можем записать:
\[\left(\frac{{T_e}}{{T_d}}\right)^2 = \left(\frac{{R_e}}{{R_d}}\right)^3 \tag{1}\]
Из условия задачи, у нас есть значения:
\( R_d = 37,4 \times 10^3 \) км
\( T_d = 15,8 \) суток
\( R_e = 384 \times 10^3 \) км
\( T_e = 27,3 \) суток
Теперь мы можем использовать формулу (1), чтобы определить массу карликовой планеты Эрида. Для этого мы сначала найдем значение \( \frac{{T_e}}{{T_d}} \), а затем подставим в формулу, чтобы получить массу Эриды.
Вычислим значение \( \frac{{T_e}}{{T_d}} \):
\[ \frac{{T_e}}{{T_d}} = \frac{{27,3}}{{15,8}} \approx 1,726 \]
Теперь подставим это значение в формулу (1):
\[\left(1,726\right)^2 = \left(\frac{{384 \times 10^3}}{{37,4 \times 10^3}}\right)^3\]
Упростим это выражение:
\[2,985 \approx \left(\frac{{384}}{{37,4}}\right)^3\]
Определим значение \( \left(\frac{{384}}{{37,4}}\right)^3 \):
\[ \left(\frac{{384}}{{37,4}}\right)^3 \approx 23,794 \]
Теперь найдем массу карликовой планеты Эрида, подставив значение \( \left(\frac{{384}}{{37,4}}\right)^3 \) в выражение:
\[2,985 = 23,794 \cdot \frac{{M_d}}{{M_e}}\]
Выразим массу Эриды \( M_d \):
\[M_d = \frac{{2,985}}{{23,794}} \cdot M_e\]
Подставим значение \( M_d \) в формулу:
\[M_d \approx 0,12565 \cdot M_e\]
Таким образом, масса карликовой планеты Эрида составляет примерно 0,12565 массы Земли. Ответ округляем до десятитысячных.
Ответ: Масса карликовой планеты Эрида составляет приблизительно 0,1257 массы Земли.