Определите массу планеты Юпитер, учитывая что спутник Ио завершает один оборот вокруг планеты за 1,77 суток

Светик

36

Для решения данной задачи нам понадобятся законы Кеплера и закон Гравитации Ньютона.

Закон Кеплера гласит, что квадрат периода обращения спутника вокруг планеты пропорционален кубу большой полуоси его орбиты. Математически это выражается следующим образом:

\[T^2 = k \cdot a^3,\]

где T - период обращения спутника, a - большая полуось орбиты, а k - постоянная.

Также у нас есть закон Гравитации Ньютона, согласно которому масса планеты связана с периодом и расстоянием, выраженными в определенных единицах, следующим образом:

\[T^2 = \frac{{4\pi^2}}{{GM}} \cdot r^3,\]

где G - гравитационная постоянная, M - масса планеты, r - расстояние спутника от планеты.

Мы можем сравнить эти два уравнения и получить выражение для массы планеты Юпитер:

\[M = \frac{{4\pi^2}}{{G}} \cdot \left(\frac{{a^3}}{{T^2}}\right).\]

Теперь подставим данные из условия задачи:

\[a = 422 \cdot 10^3 \text{ км}.\]
\[T = 1.77 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 \text{ сек}.\]
\[G = 6.67 \cdot 10^{-11} \text{ Н}\cdot \text{м}^2/\text{кг}^2.\]

Подставив значения в формулу, получим:

\[M = \frac{{4 \cdot \pi^2}}{{6.67 \cdot 10^{-11}}} \cdot \left(\frac{{(422 \cdot 10^3)^3}}{{(1.77 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60)^2}}\right).\]

Выполнив вычисления, получим следующий ответ:

\[M \approx 1.9 \cdot 10^{27} \text{ кг}.\]

Таким образом, масса планеты Юпитер составляет примерно \(1.9 \cdot 10^{27}\) килограммов.