Определите временной интервал T для слабых колебаний системы, показанной на иллюстрации, если грузу изначально

Ledyanoy_Ogon

27

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон Гука для пружин и закон сохранения энергии.

1. Начнем с пружин: При слабых колебаниях системы, сила, действующая на груз, обратно пропорциональна его смещению от положения равновесия. Используя закон Гука, получаем следующее соотношение:
\[F = -kx\],
где F - сила, k - коэффициент жесткости пружины, x - смещение груза.

2. Покажем закон сохранения энергии: При колебаниях груза энергия упругой деформации пружины переходит в кинетическую энергию груза и обратно. Это означает, что сумма потенциальной и кинетической энергий остается постоянной в течение всего колебательного движения груза. Выражение для энергии упругой деформации пружины можно записать как:
\[E_{\text{пот}} = \frac{1}{2}kx^2\],
где E_{\text{пот}} - потенциальная энергия, k - коэффициент жесткости пружины, x - смещение груза.

3. Теперь давайте рассмотрим ситуацию на иллюстрации: Изначально груз имеет скорость v0 и движется влево. Когда груз достигает крайнего левого положения, он останавливается и начинает двигаться в обратном направлении. Это означает, что его максимальное смещение равно L.

4. Поскольку энергия сохраняется, мы можем записать:
\[E_{\text{начальная}} = E_{\text{конечная}}\],
где E_{\text{начальная}} - энергия в начальном положении, E_{\text{конечная}} - энергия в крайнем положении.

5. Потенциальная энергия груза в начальном положении равна нулю, так как находится в положении равновесия. Кинетическая энергия в начальном положении равна:
\[E_{\text{начальная}} = \frac{1}{2}m{v_0}^2\],
где m - масса груза, v0 - начальная скорость.

6. В крайнем положении груз останавливается и все его кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию упругой деформации пружины. Таким образом, потенциальная энергия в крайнем положении равна:
\[E_{\text{конечная}} = \frac{1}{2}kL^2\].

7. Исходя из сохранения энергии, мы можем записать:
\[E_{\text{начальная}} = E_{\text{конечная}}\],
\[\frac{1}{2}m{v_0}^2 = \frac{1}{2}kL^2\].

8. Теперь можем решить это уравнение относительно временного интервала T. Запишем уравнение движения груза в виде:
\[v_0 T - \frac{1}{2}gT^2 = L\],
где g - ускорение свободного падения (при слабых колебаниях системы мы можем пренебречь этим значением).

9. Решим уравнение относительно T:
\[T = \frac{2L}{v_0}.\]

Таким образом, временной интервал T для слабых колебаний данной системы равен \(\frac{2L}{v_0}\), где L - расстояние между свободными концами пружин и стенками, v0 - начальная скорость груза.