Перепишите выражение в следующем формате: а) Какой будет сумма первых n натуральных чисел? б) Какова сумма первых

Скоростная_Бабочка

18

a) Чтобы найти сумму первых n натуральных чисел, нам нужно сложить все числа от 1 до n. Для этого можно использовать формулу для суммы арифметической прогрессии.

Формула для суммы арифметической прогрессии:
\[S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]
где S - сумма, n - количество чисел в прогрессии, \(a_1\) - первое число, \(a_n\) - последнее число.

В данном случае, прогрессия начинается с 1 и заканчивается на n, поэтому \(a_1 = 1\) и \(a_n = n\).

Подставим значение \(a_1 = 1\) и \(a_n = n\) в формулу:
\[S = \frac{n}{2} \cdot (1 + n)\]

Ответ: Сумма первых n натуральных чисел равна \(\frac{n}{2} \cdot (1 + n)\).

б) Чтобы найти сумму первых n четных и первых n нечетных чисел, нам нужно вычислить сумму каждой последовательности отдельно и затем сложить полученные суммы.

Последовательность четных чисел можно представить в виде арифметической прогрессии с первым членом 2 и разностью 2.

Сумма первых n четных чисел:
\[S_{\text{чет}} = \frac{n}{2} \cdot (2 + 2n)\]

Последовательность нечетных чисел также можно представить в виде арифметической прогрессии с первым членом 1 и разностью 2.

Сумма первых n нечетных чисел:
\[S_{\text{нечет}} = \frac{n}{2} \cdot (1 + 2n)\]

Теперь сложим полученные суммы:
\[S_{\text{общая}} = S_{\text{чет}} + S_{\text{нечет}}\]
\[S_{\text{общая}} = \frac{n}{2} \cdot (2 + 2n) + \frac{n}{2} \cdot (1 + 2n)\]

Упростим выражение:
\[S_{\text{общая}} = \frac{n}{2} \cdot (2 + 2n + 1 + 2n)\]
\[S_{\text{общая}} = \frac{n}{2} \cdot (4n + 3)\]

Ответ: Сумма первых n четных и первых n нечетных чисел равна \(\frac{n}{2} \cdot (4n + 3)\).