Під яким найменшим кутом може стояти драбина, якщо вона притулена до гладкої вертикальної стіни і має коефіцієнт тертя

Sladkiy_Poni

13

Щоб відповісти на це запитання, спочатку розглянемо фізикальні принципи, що стосуються драбини, яка спирається на вертикальну стіну.

Коли драбина спирається на стіну, сила тяжіння діє униз по напрямку від центру ваги до підлоги. В той же час, сила тяги, створена зов зчеплення драбини з підлогою, діє у напрямку, протилежному до сили тяжіння. Ця сила тяги допомагає драбині залишатися у стійкому положенні.

Аби драбина залишилася у рівновазі, сила тяги має бути не меншою за силу тяжіння. Якщо сила тяги менша за силу тяжіння, драбина завалиться.

Так як в нашому випадку драбина притулена до вертикальної стіни і має коефіцієнт тертя об підлогу, ми можемо врахувати, що сила тяги складається з двох компонент: горизонтальної і вертикальної.

Горизонтальна компонента сили тяги необхідна, щоб утримувати драбину у рівновазі біля стіни. Вона забезпечує зрівноваження горизонтальних сил і не має прямого впливу на кут нахилу драбини.

Вертикальна компонента сили тяги відповідає за утримання драбини від падіння. Саме ця сила повинна перебороти силу тяжіння.

Тому, щоб знайти найменший кут, при якому драбина може залишатися у рівновазі, ми маємо встановити, коли горизонтальна компонента сили тяги дорівнює силі тертя, щоб збалансувати силу тяжіння. Це буде найменшим кутом нахилу, при якому драбина може залишатися вистабільованою.

Утримуючи у рівновазі силу тертя можна записати як:

\[F_{\text{тер}} = F_{\text{тяги, горизонтальна}}\]

А тепер розглянемо компоненти сили тяги. З врахуванням кута нахилу (який позначимо як \(x\)) ми маємо:

\[F_{\text{тяги, вертикальна}} = F_{\text{тяжіння}} = mg\]

\[F_{\text{тяги, горизонтальна}} = F_{\text{тяги}} \cdot \sin x\]

\[F_{\text{тяги, вертикальна}} = F_{\text{тяги}} \cdot \cos x\]

Підставивши ці вирази в рівняння балансу сил, отримаємо:

\[F_{\text{тер}} = F_{\text{тяги, горизонтальна}}\]

\[mg \cdot \mu = F_{\text{тяги}} \cdot \sin x\]

\[mg = F_{\text{тяги}} \cdot \cos x\]

Де \(m\) - маса драбини, \(g\) - прискорення вільного падіння, а \(\mu\) - коефіцієнт тертя між драбиною і підлогою.

Тепер можемо вирішити систему рівнянь для \(F_{\text{тяги}}\) та \(x\):

\[mg \cdot \mu = F_{\text{тяги}} \cdot \sin x\]

\[mg = F_{\text{тяги}} \cdot \cos x\]

Розділимо одне рівняння на інше:

\[\frac{mg}{mg \cdot \mu} = \frac{\cos x}{\sin x}\]

\[\frac{1}{\mu} = \tan x\]

Використовуючи тригонометричну тотожність \(\tan x = \frac{1}{\cot x}\), отримаємо:

\[\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\cot x}\]

\[\mu = \cot x\]

Для знаходження кута \(x\) виконаємо обернену операцію котангенса:

\[x = \cot^{-1} \mu\]

Отже, ми отримали вираз для знаходження кута, при якому драбина може залишатися у рівновазі:

\[x = \cot^{-1} \mu\]

Тепер достатньо підставити значення коефіцієнта тертя \(\mu\), щоб знайти найменший кут, під яким може стояти драбина.

Будь ласка, зверніть увагу, що ми знайдемо кут в радіанах. Щоб перевести його в градуси, можна використати формулу:

\[x_{\text{в градусах}} = \frac{x_{\text{в радіанах}}}{\pi} \cdot 180\]

Тож, вирішивши цю задачу з"ясується, що найменшим кутом, під яким може стояти драбина, буде \(x = \cot^{-1} \mu\) радіанів, або \(x_{\text{в градусах}} = \frac{x_{\text{в радіанах}}}{\pi} \cdot 180\) градусів.