Показать, что (a + b)(c + d) = ac + bc +ad + bd, используя площадь прямоугольника ABCD. 2) Показать, используя площадь
Показать, что (a + b)(c + d) = ac + bc +ad + bd, используя площадь прямоугольника ABCD. 2) Показать, используя площадь прямоугольника ABFE,
Lizonka 25
Хорошо, давайте начнем.1) Для доказательства равенства \((a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd\) можем использовать площадь прямоугольника ABCD.
a|--------------|c
| |
b|--------------|d
Представьте себе прямоугольник ABCD со сторонами \(a + b\) и \(c + d\). Теперь разделим его на четыре маленьких прямоугольника, как показано ниже:
a b
|-----|---------|
a | | |
|-----|---------|
c | | |
|-----|---------|
c d
Теперь, чтобы найти общую площадь всего прямоугольника, мы можем сложить площади каждого из четырех маленьких прямоугольников.
Площадь первого маленького прямоугольника равна \(a \cdot c\).
Площадь второго маленького прямоугольника равна \(b \cdot c\).
Площадь третьего маленького прямоугольника равна \(a \cdot d\).
Площадь четвертого маленького прямоугольника равна \(b \cdot d\).
Теперь суммируем все эти площади:
\(Площадь_{общая} = a \cdot c + b \cdot c + a \cdot d + b \cdot d\)
А это и есть выражение \((a + b)(c + d)\).
Таким образом, мы показали, что \((a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd\).
2) Теперь давайте рассмотрим прямоугольник ABFE.
a|-----------|c
| |
b|-----------|d
| |
|-----------|
диагональ
Давайте представим себе этот прямоугольник ABFE с шириной \(a + b\) и длиной \(c + d\).
Теперь мы видим, что данный прямоугольник можно разделить на два треугольника и два прямоугольника.
a|-----------|c
| |
b|-----------|d
|\ /|
| \ / |
| \ / |
| \ / |
| \ / |
|-----------|
диагональ
Давайте рассмотрим каждую часть по отдельности:
- Площадь треугольника AEF равна \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot b\) (так как нам известны его две стороны).
- Площадь треугольника BDF равна \(\frac{1}{2} \cdot c \cdot d\) (так как нам известны его две стороны).
- Площадь прямоугольника ADEH равна \(a \cdot d\) (так как нам известны его стороны).
- Площадь прямоугольника BCFH равна \(b \cdot c\) (так как нам известны его стороны).
Теперь сложим все эти площади:
\(Площадь_{общая} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b + \frac{1}{2} \cdot c \cdot d + a \cdot d + b \cdot c\)
Упрощаем выражение:
\(Площадь_{общая} = ac + bc + ad + bd\)
И вот мы снова получили выражение \((a + b)(c + d)\).
Таким образом, мы показали, что площади прямоугольника ABCD и прямоугольника ABFE дают одинаковый результат, и мы можем заключить, что \((a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd\).