Покажите, что среди n+1 натуральных чисел всегда существуют два числа, разность которых является кратной

Ветка

23

Чтобы решить задачу, нам понадобится использовать принцип Дирихле из комбинаторики, который нам гарантирует существование двух чисел с определенным свойством. Давайте рассмотрим подробное объяснение решения.

Пусть у нас есть n + 1 натуральное число. Для простоты предположим, что эти числа являются первыми n + 1 положительными целыми числами, то есть множество чисел будет выглядеть следующим образом: {1, 2, 3, ..., n, n + 1}.

Для каждого из этих чисел найдем остаток при делении на n. Так как у нас n + 1 чисел, а возможных остатков всего n (от 0 до n-1), по принципу Дирихле как минимум два из этих чисел должны иметь одинаковый остаток при делении на n.

Предположим, что разность этих двух чисел равна k. Тогда можно записать:

\(a - b = k \cdot n,\)

где \(a\) и \(b\) - эти два числа, а \(k\) - некоторое целое число.

Преобразуем данное выражение:

\(a = b + k \cdot n.\)

В полученном выражении \(b\) - это одно из двух чисел с одинаковым остатком при делении на \(n\), а \(k \cdot n\) - это кратное \(n\).

Таким образом, мы показали, что среди n + 1 натуральных чисел всегда существуют два числа, разность которых является кратной n. Это доказывает требуемое утверждение задачи.

Надеюсь, объяснение было достаточно подробным и понятным. Если у вас возникли еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!