Постройте три круга, которые будут пересекаться друг с другом и представлять множества а, в и с. Закрасьте области

Korova

46

Чтобы построить указанные круги и иллюстрировать равенства, нам понадобится начертить диаграмму Эйлера. Диаграмма Эйлера поможет наглядно представить пересечение и объединение множеств.

Для начала нарисуем основу диаграммы - прямоугольник, который будет представлять все возможные элементы, входящие в различные множества:
\[
\begin{array}{c}
\text{а} \\
\text{в} \\
\text{с}
\end{array}
\]

Теперь добавим круги, которые будут представлять множества. При этом учтем условия задачи о пересечении и объединении множеств.

1) Чтобы построить круги для множеств а, в и с, представляющие пересечение (а без в) и (а без с), начнем с круга, представляющего множество а. Затем добавим круги внутри множества а, но без элементов из соответствующих множеств в и с. Пересечение двух внутренних кругов даст нам множество a без в и с. Наконец, добавим круги, представляющие множества в и с, чтобы получить полную диаграмму пересечения.

2) Для иллюстрации пересечения (а без в) и (а и с), возьмем круг, представляющий множество а, и укажем его пересечение с кругом, представляющим множество с. Это даст нам множество (а без в) и (а и с).

3) Чтобы показать множество а без пересечения с множествами в и с, возьмем круг, представляющий множество а, и затем вычтем из него области, представляющие пересечение с множеством в и с.

4) Наконец, чтобы построить круги, иллюстрирующие равенство (а объединение в) без с, возьмем круг, представляющий множество а, и добавим к нему круг, представляющий множество в. Затем вычтем области, представляющие пересечение с множеством с.

Вот итоговая диаграмма с указанными областями:

\[
\begin{array}{cccc}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2.5,0) rectangle (2.5,4);
\draw[thick] (0,2) circle (1.5cm)
(0,2) node {$а$};
\fill[gray] (0.5,2) circle (0.6cm);
\node at (1,2.7) {$в$};
\fill[gray] (-0.5,2) circle (0.6cm);
\node at (-0.55,1.6) {$с$};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2.5,0) rectangle (2.5,4);
\draw[thick] (0,2) circle (1.5cm)
(0,2) node {$а$};
\fill[gray] (0.5,2) circle (0.6cm);
\node at (1,2.7) {$в$};
\fill[gray] (-0.5,2) circle (0.6cm);
\node at (-0.55,1.6) {$с$};
\fill[gray] (-0.1,2) circle (0.6cm);
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2.5,0) rectangle (2.5,4);
\draw[thick] (0,2) circle (1.5cm)
(0,2) node {$а$};
\fill[gray] (0.5,2) circle (0.6cm);
\node at (1,2.7) {$в$};
\fill[gray] (-0.5,2) circle (0.6cm);
\node at (-0.55,1.6) {$с$};
\fill[gray] (-0.1,2) circle (0.6cm);
\draw[white, line width=0.2cm, opacity=0.8] (0,2) circle (0.95cm);
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2.5,0) rectangle (2.5,4);
\draw[thick] (0,2) circle (1.5cm)
(0,2) node {$а$};
\fill[gray] (0.5,2) circle (0.6cm);
\node at (1,2.7) {$в$};
\fill[gray] (-0.5,2) circle (0.6cm);
\node at (-0.55,1.6) {$с$};
\fill[gray] (-0.1,2) circle (0.6cm);
\draw[white, line width=0.2cm, opacity=0.8] (0,2) circle (0.95cm);
\fill[gray] (1.9,2) circle (0.6cm);
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Теперь закрасим каждую область, которая иллюстрирует равенства:

1) а без объединения в и с равно пересечению (а без в) и (а без с):
\[
\begin{array}{cccc}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2.5,0) rectangle (2.5,4);
\draw[thick] (0,2) circle (1.5cm)
(0,2) node {$а$};
\fill[gray] (0.5,2) circle (0.6cm);
\node at (1,2.7) {$в$};
\fill[gray] (-0.5,2) circle (0.6cm);
\node at (-0.55,1.6) {$с$};
\fill[red, opacity=0.4] (0.5,2) circle (0.6cm);
\fill[red, opacity=0.4] (-0.5,2) circle (0.6cm);
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2.5,0) rectangle (2.5,4);
\draw[thick] (0,2) circle (1.5cm)
(0,2) node {$а$};
\fill[gray] (0.5,2) circle (0.6cm);
\node at (1,2.7) {$в$};
\fill[gray] (-0.5,2) circle (0.6cm);
\node at (-0.55,1.6) {$с$};
\fill[red, opacity=0.4] (0.5,2) circle (0.6cm);
\fill[red, opacity=0.4] (-0.5,2) circle (0.6cm);
\fill[red, opacity=0.4] (-0.1,2) circle (0.6cm);
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2.5,0) rectangle (2.5,4);
\draw[thick] (0,2) circle (1.5cm)
(0,2) node {$а$};
\fill[gray] (0.5,2) circle (0.6cm);
\node at (1,2.7) {$в$};
\fill[gray] (-0.5,2) circle (0.6cm);
\node at (-0.55,1.6) {$с$};
\fill[red, opacity=0.4] (0.5,2) circle (0.6cm);
\fill[red, opacity=0.4] (-0.5,2) circle (0.6cm);
\fill[red, opacity=0.4] (-0.1,2) circle (0.6cm);
\draw[white, line width=0.2cm, opacity=0.8] (0,2) circle (0.95cm);
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2.5,0) rectangle (2.5,4);
\draw[thick] (0,2) circle (1.5cm)
(0,2) node {$а$};
\fill[gray] (0.5,2) circle (0.6cm);
\node at (1,2.7) {$в$};
\fill[gray] (-0.5,2) circle (0.6cm);
\node at (-0.55,1.6) {$с$};
\fill[red, opacity=0.4] (0.5,2) circle (0.6cm);
\fill[red, opacity=0.4] (-0.5,2) circle (0.6cm);
\fill[red, opacity=0.4] (-0.1,2) circle (0.6cm);
\draw[white, line width=0.2cm, opacity=0.8] (0,2) circle (0.95cm);
\fill[red, opacity=0.4] (1.9,2) circle (0.6cm);
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

2) (а без в) пересекаемое с равно пересечению (а и с):
\[
\begin{array}{cccc}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2.5,0) rectangle (2.5,4);
\draw[thick] (0,2) circle (1.5cm)
(0,2) node {$а$};
\node at (-0.55,1.6) {$с$};
\fill[red, opacity=0.4] (-0.1,2) circle (0.6cm);
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2.5,0) rectangle (2.5,4);
\draw[thick] (0,2) circle (1.5cm)
(0,2) node {$а$};
\node at (-0.55,1.6) {$с$};
\fill[red, opacity=0.4] (-0.1,2) circle (0.6cm);
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2.5,0) rectangle (2.5,4);
\draw[thick] (0,2) circle (1.5cm)
(0,2) node {$а$};
\node at (-0.55,1.6) {$с$};
\fill[red, opacity=0.4] (-0.1,2) circle (0.6cm);
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2.5,0) rectangle (2.5,4);
\draw[thick] (0,2) circle (1.5cm)
(0,2) node {$а$};
\node at (-0.55,1.6) {$с$};
\fill[red, opacity=0.4] (-0.1,2) circle (0.6cm);
\fill[red, opacity=0.4] (1.9,2) circle (0.6cm);
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

3) а без пересечения в и с равно объединению (а без в) и (а без с):
\[
\begin{array}{cccc}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2.5,0) rectangle (2.5,4);
\draw[thick] (0,2) circle (1.5cm)
(0,2) node {$а$};
\fill[gray] (0.5,2) circle (0.6cm);
\fill[gray] (-0.5,2) circle (0.6cm);
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2.5,0) rectangle (2.5,4);
\draw[thick] (0,2) circle (1.5cm)
(0,2) node {$а$};
\fill[gray] (0.5,2) circle (0.6cm);
\fill[gray] (-0.5,2) circle (0.6cm);
\fill[gray] (-0.1,2) circle (0.6cm);
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2.5,0) rectangle (2.5,4);
\draw[thick] (0,2) circle (1.5cm)
(0,2) node {$а$};
\fill[gray] (0.5,2) circle (0.6cm);
\fill[gray] (-0.5,2) circle (0.6cm);
\fill[gray] (-0.1,2) circle (0.6cm);
\fill[gray] (1.9,2) circle (0.6cm);
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

4) (а объединение в) без с равно объединению (а без с) и (в):
\[
\begin{array}{cccc}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2.5,0) rectangle (2.5,4);
\draw[thick] (0,2) circle (1.5cm)
(0,2) node {$а$};
\fill[gray] (0.5,2) circle (0.6cm);
\node at (1,2.7) {$в$};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2.5,0) rectangle (2.5,4);
\draw[thick] (0,2) circle (1.5cm)
(0,2) node {$а$};
\fill[gray] (0.5,2) circle (0.6cm);
\node at (1,2.7) {$в$};
\fill[gray] (-0.1,2) circle (0.6cm);
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2.5,0) rectangle (2.5,4);
\draw[thick] (0,2) circle (1.5cm)
(0,2) node {$а$};
\fill[gray] (0.5,2) circle (0.6cm);
\node at (1,2.7) {$в$};
\fill[gray]