При каком количестве товара монополист получит наибольшую прибыль, если функция спроса на его продукцию задается

Tigrenok

52

Для решения данной задачи мы должны найти количество товара, при котором монополист получит наибольшую прибыль. Для этого мы можем использовать следующую формулу:

\[Прибыль = Выручка - Издержки\]

Выручка можно найти, умножив цену на количество товара:

\[Выручка = Цена \times Количество товара\]

Цена определяется функцией спроса на продукцию, которая дана в уравнении \(p = 120 - 0,5q\).

Таким образом, выручку можно выразить следующим образом:

\[Выручка = (120 - 0,5q)q\]

Издержки заданы функцией общих издержек, которая дана в уравнении \(ts = 12 + 5q\).

Теперь мы можем выразить прибыль:

\[Прибыль = (120 - 0,5q)q - (12 + 5q)\]

Для нахождения значения q, при котором прибыль будет максимальной, необходимо найти максимум этой функции. Для этого мы можем взять производную от функции прибыли по q, приравнять ее к нулю и решить уравнение:

\[\frac{{d(Прибыль)}}{{dq}} = 0\]

Давайте найдем производные:

\[\frac{{d(Прибыль)}}{{dq}} = (120 - q) - 0,5q - 5 = 120 - 0,5q - q - 5\]
\[\frac{{d(Прибыль)}}{{dq}} = 115 - 1,5q = 0\]

Теперь решим это уравнение относительно q:

\[115 - 1,5q = 0\]
\[1,5q = 115\]
\[q = \frac{{115}}{{1,5}}\]
\[q = 76,67\]

Таким образом, прибыль будет максимальной, когда количество товара равно приблизительно 76,67 единиц.

Можно также проверить вторую производную, чтобы убедиться, что это действительно максимум, а не минимум. Если вторая производная положительна, то мы имеем дело с максимумом:

\[\frac{{d^2(Прибыль)}}{{dq^2}} = -1,5 < 0\]

Таким образом, полученное значение является действительным максимумом.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как найти количество товара для максимизации прибыли у монополиста в данной задаче. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.