При какой цене монополист достигнет максимальной прибыли, учитывая, что спрос на продукцию монополизированной отрасли

Солнечный_Смайл

54

Чтобы определить при какой цене монополист достигнет максимальной прибыли, нам необходимо воспользоваться оптимизационным подходом. Прибыль монополиста рассчитывается как разница между выручкой и издержками.

Начнем с определения выручки. Выручка задается как произведение цены товара (p) и количества проданных товаров (q). В данной задаче спрос на продукцию монополизированной отрасли описывается функцией q = 200 - p, поэтому выручку можно записать следующим образом:

\[R = p \cdot q = p \cdot (200 - p)\]

Далее, нам нужно учесть издержки производства. Для этого мы обратимся к функции предельных издержек (mc), представленной в восходящем отрезке. Функция mc связана с функцией средних издержек следующим образом: \(mc = \frac{dTC}{dq}\), где \(TC\) - общие издержки производства, а \(dq\) - изменение количества продукта. Зная, что \(mc = 5q\), мы можем выразить общие издержки как:

\[TC = \int mc \, dq = \int 5q \, dq = \frac{5q^2}{2} + C\]

Обратите внимание, что мы добавляем константу интегрирования \(C\), поскольку не знаем точных значений издержек.

Теперь мы готовы рассчитать прибыль. Прибыль определяется как разница между выручкой и издержками:

\[П = R - TC = p \cdot (200 - p) - (\frac{5q^2}{2} + C)\]

Для определения максимальной прибыли, мы можем взять производную прибыли по цене \(p\) и приравнять ее к нулю:

\[\frac{dП}{dp} = 200 - 2p - \frac{dTC}{dq} = 200 - 2p - 5q\]

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить относительно цены \(p\) и количества \(q\) для определения точки максимальной прибыли монополиста.

Для решения системы уравнений необходимо использовать информацию о спросе на продукцию монополизированной отрасли, выраженную функцией \(q = 200 - p\), и функцией предельных издержек \(mc = 5q\). Подставим первое уравнение во второе:

\[200 - p = \frac{2}{5}(200 - p)\]

Решим это уравнение:

\[200 - p = \frac{2}{5}(200 - p)\]
\[5(200 - p) = 2(200 - p)\]
\[1000 - 5p = 400 - 2p\]
\[3p = 600\]
\[p = 200\]

Теперь, когда мы нашли значение цены \(p\), мы можем подставить его обратно в одно из исходных уравнений, чтобы найти значение количества \(q\):

\[q = 200 - p = 200 - 200 = 0\]

Таким образом, монополист достигнет максимальной прибыли при цене \(p = 200\) и количестве продукции \(q = 0\).

Обратите внимание, что данная задача является упрощенной моделью, и настоящие рыночные условия могут требовать учета других факторов. Однако, в рамках данной модели, мы определили, что максимальная прибыль достигается при цене \(p = 200\) и количестве \(q = 0\).