Разложите векторы а{5;-1}, b{-3; -1}, c{0; -1} и d{0;0} на компоненты векторов i{1; 0} и j{0

Григорьевич

10

Хорошо, чтобы разложить данные векторы на компоненты i и j, мы можем использовать следующую формулу:

\( \vec{v} = \vec{v}_\text{пр} + \vec{v}_\text{перп} \),

где \( \vec{v} \) - исходный вектор, \( \vec{v}_\text{пр} \) - проекция вектора на ось i (горизонтальная компонента), \( \vec{v}_\text{перп} \) - перпендикулярная компонента вектора.

Таким образом, начнем с разложения вектора а.

Для нахождения горизонтальной компоненты вектора а, мы можем использовать формулу:

\( \vec{a}_\text{пр} = \frac{{\vec{a} \cdot \vec{i}}}{{\vec{i} \cdot \vec{i}}} \cdot \vec{i} \),

где \( \vec{a} \cdot \vec{i} \) - скалярное произведение векторов а и i, \( \vec{i} \cdot \vec{i} \) - скалярное произведение вектора i на себя.

Таким образом, подставляя значения вектора а и i, мы получаем:

\( \vec{a}_\text{пр} = \frac{{5 \cdot 1 + (-1) \cdot 0}}{{1 \cdot 1 + 0 \cdot 0}}} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \).

Проделав необходимые вычисления, мы получаем:

\( \vec{a}_\text{пр} = \frac{5}{1} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \).

Таким образом, горизонтальная компонента вектора а равна:

\( \vec{a}_\text{пр} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} \).

Далее, для нахождения вертикальной компоненты вектора а, мы можем использовать формулу:

\( \vec{a}_\text{перп} = \vec{a} - \vec{a}_\text{пр} \).

Подставляя значения вектора а и его проекции, мы получаем:

\( \vec{a}_\text{перп} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} \).

Проделав необходимые вычисления, мы получаем:

\( \vec{a}_\text{перп} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \).

Таким образом, вертикальная компонента вектора а равна:

\( \vec{a}_\text{перп} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \).

Аналогично, мы можем разложить оставшиеся векторы b, c и d на компоненты i и j:

Вектор b:
\( \vec{b}_\text{пр} = \frac{{\vec{b} \cdot \vec{i}}}{{\vec{i} \cdot \vec{i}}} \cdot \vec{i} = \frac{{(-3) \cdot 1 + (-1) \cdot 0}}{{1 \cdot 1 + 0 \cdot 0}} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{3}{1} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix} \),
\( \vec{b}_\text{перп} = \vec{b} - \vec{b}_\text{пр} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \).

Вектор c:
\( \vec{c}_\text{пр} = \frac{{\vec{c} \cdot \vec{i}}}{{\vec{i} \cdot \vec{i}}} \cdot \vec{i} = \frac{{0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0}}{{1 \cdot 1 + 0 \cdot 0}} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \),
\( \vec{c}_\text{перп} = \vec{c} - \vec{c}_\text{пр} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \).

Вектор d:
\( \vec{d}_\text{пр} = \frac{{\vec{d} \cdot \vec{i}}}{{\vec{i} \cdot \vec{i}}} \cdot \vec{i} = \frac{{0 \cdot 1 + 0 \cdot 0}}{{1 \cdot 1 + 0 \cdot 0}} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \),
\( \vec{d}_\text{перп} = \vec{d} - \vec{d}_\text{пр} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \).

Таким образом, разложение данных векторов на компоненты i и j будет следующим:
\(\vec{a} = \vec{a}_\text{пр} + \vec{a}_\text{перп} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}\),
\(\vec{b} = \vec{b}_\text{пр} + \vec{b}_\text{перп} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}\),
\(\vec{c} = \vec{c}_\text{пр} + \vec{c}_\text{перп} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}\),
\(\vec{d} = \vec{d}_\text{пр} + \vec{d}_\text{перп} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).