С какой точностью в астрономических единицах следует указать период обращения Эриды вокруг Солнца, если данное

Поющий_Хомяк

55

Чтобы определить точность, с которой следует указывать период обращения Эриды вокруг Солнца, необходимо учесть точность известного значения этого расстояния в астрономических единицах (а.е.), а также формулу для расчета периода обращения.

Дано расстояние обращения Эриды вокруг Солнца - 67,6681 а.е. Мы можем предположить, что данное значение имеет погрешность несколько последних значащих цифр (допустим, до тысячных или десятитысячных долей а.е.), но предположим, что погрешность составляет 0,0001 а.е.

Формула для расчета периода обращения планеты вокруг Солнца имеет вид:

\[ T = \sqrt{\frac{4\pi^2}{G(M + m)}}r^3 \]

где T - период обращения, G - гравитационная постоянная, M - масса Солнца, m - масса планеты Эрида, r - расстояние от планеты до Солнца.

Поскольку нам дано расстояние в а.е., мы должны преобразовать его в метры, зная, что 1 а.е. равна приблизительно 149,6 миллионов километров. Таким образом, 67,6681 а.е. преобразуется в:

\[ r = (67,6681 \cdot 149,6 \cdot 10^6) \times 1000 \]

Теперь, чтобы определить точность периода обращения, нам нужно знать точность всех известных значений в формуле. Для этого нам понадобится информация о погрешностях гравитационной постоянной, массы Солнца и массы планеты Эрида. Эти значения часто считаются точными или имеют очень маленькие погрешности, поэтому мы можем пренебречь этими погрешностями.

Таким образом, погрешность периода обращения будет определяться только погрешностью измерения расстояния (67,6681 а.е.) и формулой для расчета периода обращения. Мы можем использовать метод частных производных для оценки погрешности:

\[ \Delta T \approx \left| \frac{\partial T}{\partial r} \right| \cdot \Delta r \]

Вычислим частную производную \(\frac{\partial T}{\partial r}\) для нашей формулы периода обращения:

\[ \frac{\partial T}{\partial r} = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{4\pi^2}{G(M + m)}}r^2 \]

Теперь подставим значения в формулу и вычислим погрешность:

\[ \Delta T \approx \frac{3}{2}\sqrt{\frac{4\pi^2}{G(M + m)}}(67,6681 \cdot 149,6 \cdot 10^6) \times 1000 \times 0,0001 \]

Таким образом, мы можем указать период обращения Эриды вокруг Солнца с точностью, равной \(\Delta T\) в астрономических единицах. Однако, для полного вычисления погрешности, необходимо знать точные значения гравитационной постоянной, массы Солнца и массы Эриды.