С помощью скалярного произведения докажите равенства: х = а • i, у = а для вектора а(х

Yuzhanin_392

43

Конечно! Для доказательства данных равенств воспользуемся скалярным произведением векторов. Начнем с равенства \(х = а \cdot i\).

Чтобы доказать это равенство, нужно приравнять левую и правую части этого равенства, и показать, что они эквивалентны. Заметим, что \(х\) является скалярной величиной (т.е. числом), а вектор \(а\) и базисный вектор \(i\) имеют разные значения.

Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение модулей векторов на косинус угла между ними. В случае с вектором \(а\) и базисным вектором \(i\) угол между ними равен 0 градусов (они сонаправлены), и косинус угла равен 1.

Таким образом, \(а \cdot i = |а| \cdot |i| \cdot \cos(0^\circ) = |а| \cdot 1 \cdot 1 = |а|\).

Так как \(х\) определен как \(х = а \cdot i\), то \(х = |а|\). Это доказывает первое равенство: \(х = а \cdot i = |а|\).

Теперь рассмотрим второе равенство: \(у = а\).

Для доказательства этого равенства нужно снова приравнять левую и правую части и показать, что они равны. Заметим, что и \(у\), и \(а\) являются векторами.

Опять же, скалярное произведение вектора \(а\) с базисным вектором \(i\) дает нам \(а \cdot i\), как мы доказали выше. Но скалярное произведение вектора \(а\) с собой же также даст нам \(а \cdot а = |а|^2\).

Таким образом, мы имеем \(а \cdot i = а \cdot а\).

Теперь, если сравнить полученное равенство \(а \cdot i = а \cdot а\) с первым равенством \(х = а \cdot i = |а|\), можно сделать вывод, что \(х = у = |а|\).

Итак, с помощью скалярного произведения мы успешно доказали заданные равенства: \(х = а \cdot i = |а|\) и \(у = а\).